9.6. Физическая интерпретация дисперсии

Рассмотрим нормально распределенную случайную величину плотность вероятности которой

где Имеем

Вычисляя интеграл в последнем равенстве, получаем Следовательно, для гауссовой переменной дисперсия или среднеквадратичная ошибка о связана с «шириной» кривой Гаусса. Чем больше а, тем больше кривая Гаусса вытянута и

сплющена (поскольку ) (рис. 9.6). Поэтому, чем больше тем больше вероятность получить значения существенно отличающиеся от среднего наиболее вероятного значения .

Рис. 9.6. (см. скан)

Дисперсия или среднеквадратичная ошибка (которая является квадратным корнем из дисперсии) характеризует «рассеивание» возможных значений.

Для гауссовой переменной величина среднеквадратичной ошибки используется на практике для построения доверительных интервалов. Вероятность того, что ошибка оценки расположена в интервале равна 0,68. Если доверительная вероятность выбирается равной 0,9, т. е. 90%, то ошибка принадлежит интервалу где е. Аналогично для доверительных вероятностей 0,95 (95%) и 0,99 (99%) ошибка будет лежать в интервалах и . Никогда не следует забывать, что дисперсия и среднеквадратичная ошибка являются не детерминированными ошибками, а параметрами, определяющими гауссову вероятность ошибки.