Глава 8. КОРРЕЛЯЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИКИ

Физическая величина определяется более точно уравнением, чем измерением. Но, определяя ее из уравнения, мы, по сути дела, отказываемся от познания истинного значения данной величины. Сохранение в то же время ее названия влечет за собой неточности и недоразумения. (Макс Планк)

8.1. Поиск «связи» между двумя физическими процессами (явлениями), которые заданы физической величиной, выражающей один из параметров процессов. Случай, когда параметр может быть измерен, если задано большое число реализаций процессов. Средние значения ансамбля

Примеры физических процессов и их реализации.

Рассмотрим семейство числовых функций одной и той же переменной (например, времени), которые соответствуют физическим процессам одной природы. Пусть — функция этого семейства. Функция может быть, например, напряжением шума в электронной трубке. Тогда каждая функция представляет напряжение шума в трубке одной партии трубок. Функция может быть также электроэнцефалограммой людей с одной и той же болезнью или представлять скорость ветра как функцию высоты Наряду с семейством можно рассмотреть другое семейство функций например напряжение шумов в трубках другого типа, или электрокардиограммы больных, или, наконец, температуры в момент времени на высоте Требуется установить связь между физическим процессом порождающим семейство функций (называемых реализациями процесса и физическим процессом порождающим семейство функций (называемых реализациями процесса

Среднее значение ансамбля. Связь с математическим ожиданием.

Если отмеченная выше «связь» существует, то должен существовать такой параметр а, что с его помощью в фиксированный момент времени реализации процессов «совмещаются» наилучшим образом.

Рис. 8.1.

Ясно, что значение параметра а может зависеть от выбранной пары и индекса Поэтому более оправданно параметр а находить не из минимума выражения

а из минимума выражения

Интуитивно ясно, что среднее значение будет более близко к точному значению при увеличении числа реализаций. Следовательно, в момент времени должно быть рассмотрено большое число реализаций (рис. 8.1). Выражение (8.2) будет выполнено, если

т. е. а равно отношению средних значений Из выражения (8.3) следует равенство Легко видеть, что если число реализаций неограниченно возрастает, то среднее значение

стремится к математическому ожиданию Если область изменения разбита на равные интервалы длины q (т. е. произведена операция дискретизации), то переменная заменяется дискретной переменной, которая принимает только значения, кратные По определению математического ожидания имеем

Рис. 8.2.

Выражение (8.5) можно записать также в виде

Одномерная плотность вероятности.

Рассмотрим вероятность того, что значение принадлежит промежутку (выражение Если стремится к нулю, то выражение (8.5) представляет собой плотность вероятности. Обозначим через вероятность нахождения значений случайной величины X на промежутке Пусть Функция называется плотностью вероятности. Такое определение плотности вероятности широко используется в теории вероятности. Поскольку всегда существует минимальная возможная величина определяемая разрешающей способностью прибора, то на практике возможна регистрация вероятности Имеем

где — плотность вероятности (рис. 8.2).

Рис. 8.3.

Функция всегда удовлетворяет условию нормировки

Величина является, очевидно, результатом «дискретизации с усреднением» плотности вероятности (рис. 8.2).

Можно дать наглядную физическую интерпретацию такой дискретизации плотности вероятности (рис. 8.3). Рассмотрим некоторую функцию, график которой представлен набором шариков, свободно насаженных на решетку из горизонтальных и параллельных стержней. Для более точной реализации графика функции можно уменьшить расстояние между стержнями и размеры шариков. Если повернуть решетку на 90° в вертикальное положение, то шарики, скользя вдоль стержней, упадут вниз и совокупность шариков на всех стержнях даст аппроксимацию графика плотности вероятности. По существу аналогичная операция реализуется при построении гистограммы амплитуд с помощью комбинированного селектора (гл. 16).

Двумерная плотность вероятности.

Можно рассмотреть вероятность того, что значения случайных величин содержатся соответственно в интервалах Пусть

Тогда

Математическое ожидание произведения

Вероятность события

для двух случайных процессов можно вычислить по формуле

Многомерная плотность вероятности.

Аналогично определяется трехмерная, четырехмерная, -мерная плотность вероятности. Можно доказать, что с возрастанием размерности растет объем информации о случайном процессе, содержащейся в n-мерной плотности вероятности.

Среднеквадратичное отклонение.

Введенный выше параметр а обладает одним существенным недостатком. Пусть средние значения функций равны нулю. Тогда, если даже значения различны, функция равна нулю для всех значений а. Поэтому введем другой критерий сравнения. Чтобы критерий отражал суть явлений, он должен быть связан с энергией, содержащейся в разности сигналов (разд. 8.7), поскольку в конечном счете нас интересует в сигнале его энергия или мощность. Итак, рассмотрим величину , или

Минимизация среднеквадратичного отклонения. Коэффициент корреляции.

Найдем значение коэффициента , минимизирующее . Имеем

т. е.

Из выражения (8.13) получаем

Минимальное значение определяется из выражения

Обозначим

Тогда

Из выражения (8.17) следует, что для . В случае говорят, что процессы полностью коррелируют в момент времени . Если то . В этом случае говорят, что процессы не коррелируют в момент времени Величина характеризующая «связь» между двумя процессами, называется коэффициентом корреляции. Величину

принято называть ковариацией.

Связь коэффициента корреляции с математическим ожиданием произведения и квадратов случайных величин.

При ковариация — стремится к математическому ожиданию произведения

где

Аналогично величины стремятся к математическим ожиданиям

До сих пор значения случайных функций рассматривались для одного и того же момента времени Можно исследовать связь между этими значениями и для разных моментов времени, например Тогда ковариация будет зависеть от смещения

называется корреляционной функцией. Обычно вместо рассматриваются центрированные случайные величины , где . Математические ожидания центрированных случайных величин равны нулю, т. е.

Имеем

Отсюда

Итак, корреляционная функция двух случайных процессов равна сумме корреляционной функции центрированных случайных процессов и произведения математических ожиданий. Если процессы стационарны, то математические ожидания зависят от момента времени, т. е. ту — постоянные величины). Поэтому для стационарных случайных процессов

Ниже, за исключением специально оговоренных случаев, предполагается, что рассматриваемые случайные величины центрированы.

Стационарные процессы. Для многих случайных процессов в пределах заданной точности можно предполагать, что средние значения, дисперсии, коэффициенты корреляции и

корреляционные функции не зависят от рассматриваемого момента времени. Поэтому, если перечисленные выше характеристики вычислены в момент времени то они будут известны для всего временного интервала задания процесса, т. е. имеется возможность «предсказания» величии некоторых характеристик процесса. В этом случае можно в определенной степени предсказать изменение процесса. Процессы, статистические характеристики которых не изменяются с течением времени, называются стационарными. Почти во всех случаях под стационарностью процесса подразумевают независимость от времени одномерных и двумерных статистических характеристик процесса.