8.5. Практические замечания

Стационарность.

Обычно ограничиваются стационарностью порядка, т. е. инвариантностью одномерных и двумерных статистических характеристик. При исследовании физических процессов обнаружить их стационарность чрезвычайно трудно. Если вычислять средние по реализациям физического процесса, то иногда нельзя установить, достаточно ли число рассматриваемых реализаций. Если же вычисляются временные средние, то интервал усреднения должен совпадать с интервалом задания процесса. Следовательно, на практике можно установить стационарность только с определенной погрешностью. Это означает, что статистические характеристики вычисляются на временном интервале такой продолжительности Т, чтобы обеспечить -ную точность этих характеристик (точные значения характеристик могут быть получены только при ). Затем следует произвести вычисления на других временных интервалах Т и убедиться, что разность значений характеристик не превосходит величину, соответствующую -ной точности. Предполагается, что длина временного интервала Т может быть выбрана сколько угодно большой так, чтобы можно было обеспечить сколько угодно большую точность (этот вопрос рассмотрен в гл. 9).

Эргодичность.

Не существует физического устройства, с помощью которого можно было бы проверить по крайней мере простым способом эргодичность исследуемых процессов. Всегда предполагается, что эргодичность имеет место, а затем по полученным результатам апостериорно проверяется ее наличие.

Среднее значение ансамбля.

Теоретическое определение среднего значения дается формулой

На практике подсчитывается среднее значение конечного числа реализаций, и точность результата может быть повышена путем увеличения этого числа.

Временное среднее.

Теоретическое определение среднего значения по времени дается формулой

Корреляционная функция.

Корреляционная функция двух случайных процессов, вещественных или комплексных, определяется выражением

где функция комплексно сопряжена с Напомним, что такое определение корреляционной функции связано с понятием мощности, введенным в гл. 3. Для вещественных функций

Поскольку физические сигналы на выходе измерительных устройств всегда вещественны, ниже мы будем использовать выражение (8.35). Если дополнительно имеет место эргодичность, то

На практике всегда предполагается, что случайный процесс эргодичен, и поэтому в качестве определения корреляционной функции принимается равенство (8.36). При фактическом же вычислении корреляционной функции интервал усреднения всегда конечен, и, следовательно, корреляционная функция вычисляется по формуле

Корреляционная функция в строгом смысле имеет вид

Т). Функция является лишь оценкой корреляционной функции . В некоторых случаях можно вычислить ошибку этой оценки (разд. 9.2). Для упрощения записи ниже мы часто будем обозначать оценку символом