5.2. Уравнение свертки

Рассмотрим произвольный входной сигнал . Мы можем всегда разложить сигнал в последовательность импульсов продолжительностью имеющих амплитуды, равные амплитудам исходного сигнала в рассматриваемые моменты времени (рис. 5.2).

Пусть значения в моменты Обозначим через отклик системы на импульс продолжительностью и амплитудой Тогда отклик системы на импульс продолжительностью единичной амплитуды. Поэтому отклик системы на импульс амплитудой в момент равен . Для отклика системы на импульс амплитудой в момент получаем равенство

Продолжив подсчет откликов системы для последующих моментов, получаем цепочку равенств

Так как система линейна, можно применить теорему сложения, согласно которой сигнал на выходе равен сумме всех откликов

где — целая часть числа Необходимо отметить, в силу принципа причинности отклик физической системы равен нулю для и поэтому

Следовательно, справедливы равенства

Последовательность стремится к функции стремится к импульсному отклику системы при Интегральные суммы правых частей равенств (5.2) — (5.26) стремятся к соответствующим интегралам при

Рис. 5.2.

Поэтому, переходя в равенствах (5.2) — (5.26) к пределу при получаем формулы

Последние три эквивалентных выражения обычно записывают символически в виде свертки

Свертка имеет следующие свойства:

1. Дистрибутивность:

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность: