14.4. Окна, применяемые в методе периодограмм

(Влияние ограниченной продолжительности анализируемой части сигнала)

Нам предстоит рассмотреть спектральную плотность, полученную усреднением квадратов модулей фурье-образов участков сигнала. Мы изучим влияние ограниченной

продолжительности каждого участка на спектральную плотность мощности. Эта задача возникает в случае применения системы последовательно соединенных устройств для преобразования Фурье, возведения в квадрат и усреднения или при обработке сигнала на регистрирующем вычислительном устройстве с помощью логики, основанной на преобразовании Фурье.

Пусть — случайная стационарная функция порядка. Выделим участок сигнала длительностью :

и применим преобразование Фурье

Теперь можно найти спектральную плотность средней мощности

которая определяется из соотношения для

Так как наблюдение сигнала продолжается в течение конечного времени, то исходную функцию надо умножить на временное окно. Если не сделано никакой коррекции, то

Для упрощения выкладок положим Тогда

Следовательно,

При этом мы учли, что . Полагая и принимая во внимание, что - корреляционная функция, получим

где

Полученное выражение может быть записано в виде

где

Таким образом, оценка спектральной плотности шума равна свертке спектральной плотности мощности и спектральной плотности временного окна . Другое приближение построено в гл. 13, где рассмотрено влияние конечной длительности сигнала (случай естественного окна) на среднее значение квадратов модулей фурье-образов.

Во многих случаях функция является четной, поэтому

Отсюда вытекает, что

где — фурье-образ функции . Итак, спектральное окно равно с точностью до множителя квадрату фурье-образа весовой функции при условии ее четности. Это свойство часто используют для вычисления значений

Временные весовые окна, применяемые для оценки спектральной плотности на основе прямого преобразования Фурье, образуют второе семейство корректирующих (с помощью сглаживания) функций.