Глава 12. ОСНОВНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ

Прежде чем перейти к решению практических задач, рассмотрим основные приложения корреляционных функций и спектральных плотностей. Хотя число основных приложений сравнительно невелико, последние служат источником решения разнообразных практических задач. Мы рассмотрим следующие основные приложения: обнаружение и выделение сигнала на фоне шума; обнаружение скрытых периодичностей; получение спектральных плотностей энергии на основе корреляционной функции с помощью теоремы Винера — Хинчина (и наоборот); определение динамических характеристик линейных систем, когерентности и сдвига между сигналами.

Важное замечание.

Дуальность времени и частоты приводит к тому, что любой результат, полученный путем использования корреляционных функций, может быть получен также с помощью спектральных плотностей. При проведении практических расчетов требуется выбрать одну из переменных — время или частоту. Во многих случаях можно сделать этот выбор, руководствуясь простым соображением: «узкий» во времени сигнал является протяженным по частоте, и наоборот.

12.1. Обнаружение периодического сигнала на фоне помех с помощью автокорреляции

Обнаружить сигнал на фоне помех означает ответить на вопрос: существует сигнал или нет? Задача определения его формы при этом не ставится.

Основы метода.

Пусть — периодический сигнал с неизвестным (основным) периодом и — шум. Рассмотрим суперпозицию

Для упрощения предположим, что центрированы, т. е. их средние значения равны нулю, тогда сигнал также будет центрирован. С точки зрения физики эта гипотеза вполне естественна, так как на практике всегда исключают постоянную компоненту, чтобы не «загромождать» измерительную аппаратуру, шкала (или динамический диапазон) которой всегда ограничена.

Автокорреляционная функция в данном случае определяется выражением

В силу свойства дистрибутивности корреляционного оператора имеем

Можно считать, что шум и сигнал независимы. При этом условии корреляционные функции тождественно равны нулю (с точностью до погрешностей оценок, обусловленных конечным временем интегрирования). Автокорреляционная функция шума стремится к нулю с возрастанием (разд. 11.12); следовательно, для достаточно больших значений (больших по модулю некоторого величина практически равна нулю (с точностью до погрешности оценки). Значение начиная с которого автокорреляционную функцию можно положить равной нулю, зависит от характеристик шума, и в частности от его спектральной плотности: чем шире полоса частот шума при заданной полной мощности, тем быстрее убывает автокорреляционная функция. Итак, при в выражении для автокорреляционной функции периодического сигнала остается только одно слагаемое:

В действительности

где ошибка тем меньше, чем больше время интегрирования Т (или временная константа усредняющего низкочастотного фильтра).

Итак, описанный метод позволяет обнаружить периодический сигнал на фоне шума.

В разд. 11.2 показано, что если периодический сигнал с периодом разложить в ряд Фурье

то его автокорреляционная функция будет представлена рядом

Из последнего выражения следует, что форму сигнала таким методом восстановить невозможно, так как в этом случае определяется лишь квадрат его модуля, а информация о фазе полностью теряется. Очевидно, что форма остается неизменной и может быть восстановлена, если — синусоидальный сигнал.

Увеличение отношения сигнал/шум при обнаружении сигнала с помощью корреляции.

Пусть содержащий шум. Для упрощения записи обозначим Будем считать, что шум центрирован и является стационарным процессом 2-го порядка со спектральной плотностью . Исходя из определения автокорреляционной функции

находим ее оценку

Вычислим теперь (как в гл. 9). Вычисление . В данном случае выражение

может быть представлено в виде суммы следующих трех слагаемых:

что можно также записать в виде

Так как шум центрирован, то эти два последних слагаемых равны нулю.

вследствие стационарности Следовательно,

или

Если произведение , где — период сигнала, достаточно велико, то

Вычисление . Согласно выражению (9.9),

Вычислим По определению имеем

что приводит к математическому ожиданию двойного интеграла:

Освобождаясь от скобок, получим 16 слагаемых, каждое из которых является математическим ожиданием одного из 16 двойных интегралов. Все эти интегралы вычисляются по ггеореме Фубини. Один из интегралов содержит детерминированную функцию , а остальные содержат моменты 4-го порядков функции Поскольку шум центрирован, моменты 1-го порядка обращаются в нуль. Если дополнительно предположить, что — гауссов шум, то обратятся в нуль все моменты нечетного порядка (разд. 8.10). В результате остается шесть моментов 2-го порядка и один момент 4-го порядка.

Таким образом, вычисление сводится к вычислению восьми двойных интегралов:

(см. скан)

При этом Нетрудно убедиться в том, что

Поскольку - гауссов шум, то, согласно выражению (9.28), получаем

Вычислим теперь интеграл . Так как

то

Этот интеграл был уже найден при вычислении математического ожидания . Таким образом,

Вычислим интегралы и . Эти два интеграла имеют одно и то же значение:

Вычислим сумму . Имеем

(кликните для просмотра скана)

Применяя формулы (9.14) и (9.15), найдем

Вычислим интеграл

или, согласно выражению (9.14),

Итак, получаем в результате

(см. скан)

Три последних слагаемых входят в сумму дважды, но с противоположными знаками, поэтому они взаимно уничтожаются. Положим , где . Если достаточно велико, т. е. промежуток интегрирования содержит достаточно большое число периодов искомого сигнала, то можно пренебречь слагаемыми, содержащими Тогда

Поскольку (разд. 2.14)

то

Учитывая, что стремится к нулю с увеличением Т, получаем в результате два слагаемых:

Первое слагаемое можно записать в виде 00

или

Если предположить, что мало изменяется в области, где величина существенно отлична от нуля, то

Предполагая, что спектральная плотность шума постоянна в полосе частот , получим и

где — дисперсия шума.

При тех же допущениях легко вычислить интеграл

Действительно, исходя из соотношений

и учитывая равенство Парсеваля

найдем

Отсюда вытекает соотношение

Окончательно имеем

Отношение сигнал/шум до вычисления корреляции было равно

Это отношение после вычисления корреляции оказывается равным

Увеличение отношения сигнал/шум по мощности, которое обозначим определяется формулой

Из последнего выражения следует, что увеличение отношения сигнал/шум, достигнутое путем вычисления автокорреляции, пропорционально и зависит еще от отношения сигнал/шум на входе коррелометра. Если то Из формулы (12.28) следует также, что автокорреляция увеличивает отношение сигнал/шум только при условии

Примечание. Усиление по «амплитуде» будет равно

Замечание.

Может показаться невозможным обнаружить периодический сигнал с помощью метода вычисления автокорреляции, если отношение сигнал/шум на входе коррелометра слишком мало. Тем не менее существует способ увеличить это отношение. Он состоит в разбиении всего спектра на полосы путем фильтрации. Предположим, что шум мощности имеет постоянную спектральную плотность в рассматриваемой спектральной полосе. Если эту полосу разделить на две равные части, то мощность шума в каждой из них будет равна при делении на четыре части мощность в одной части будет Отсюда видно, что разбиение исходной полосы на четыре

равные части дает увеличение отношения сигнал/шум на входе на 12 дБ.

При работе в реальном масштабе времени необходимо, чтобы каждой полосе соответствовал свой коррелометр. Выполнение этого условия может показаться трудным и дорогостоящим, однако с появлением коррелометров на интегральных схемах это препятствие вполне преодолимо. Если предположить, что разбиение спектра на полосы осуществляет система из 10 или 100 параллельно соединенных коррелометров, то это приводит к увеличению отношения сигнал/шум на входе на 20 или соответственно на 40 дБ.