8.8. Связь между временными представлениями сигналов и спектральными плотностями. Теорема Винера — Хинчина

Пусть — стационарная, эргодическая случайная функция. По определению корреляционной функции

Разделим ось частот на равные промежутки (рис. 8.4). Обо значим через идеальный узкополосный фильтр, соответствующий каждому интервалу разбиения. Частотная характеристика идеального фильтра (поскольку такой фильтр нереализуем) определяется выражением

Рис. 8.4.

Обозначим через сигнал на выходе фильтра если на вход фильтра поступает сигнал Тогда

Рассмотрим сигнал

Функция является фурье-образом функции

(здесь ). Поскольку частотные характеристики фильтра не пересекаются и смежны, справедливо равенство Следовательно,

Отсюда

Поэтому

Рассмотрим автокорреляционную функцию функции

Но известно, что

Из линейности фильтров следует равенство

где - импульсный отклик фильтра . Имеем

Обозначим через фурье-образ автокорреляционной функции :

Известно, что

Отсюда

Поэтому

Окончательно получаем

Положив в последнем равенстве имеем

по известно, что

Следовательно, функция определенная выше как фурье-образ автокорреляционной функции действительно является спектральной плотностью по определению, даваемому формулами (8.40) и (8.41).

Рассмотрим теперь две эргодические стационарные случайные функции Обозначим через сигналы на выходе двух идентичных фильтров, на вход которых поступают сигналы Имеем

Используя теорему Фубини, заменим порядок применения операторов Е и

Поскольку функция не является случайной, получаем

Из стационарности процессов следует равенство

Поэтому

Положим Имеем

Известно, что

Отсюда

Итак,

Поэтому

Если - прямоугольная функция, заданная на промежутке , то

Следовательно, функция определенная как фурье-образ корреляционной функции характеризует распределение на оси частот мощности взаимодействия, т. е. является спектральной плотностью взаимодействия.

Итак, справедливы выражения: