13.6. Спектральный анализ методом фильтрации

Общие соображения.

Спектральный анализ методом фильтрации наиболее естествен и нагляден, однако его выполнение сопряжено с рядом трудностей. Одна из них, обусловленная дискретизацией, присуща, как мы видели, в той или иной степени всем современным методам анализа.

Основные трудности связаны с реальными фильтрами: их частотные характеристики не являются абсолютно стабильными. Импульсные характеристики фильтров должны быть вещественны и физически реализуемы, т. е. при (условие причинной связи между событиями). Рассмотрим, например, фильтр с частотной характеристикой Ему соответствует импульсная характеристика которая не является физически реализуемой, так как отлична от нуля при Кроме того, из вещественности функции следует, что обладает свойством эрмитовой симметрии (рис. 13.7):

Измерение спектральной плотности (собственного спектра) сигнала.

Пропустим сигнал через фильтр с импульсной характеристикой и комплексным усилением

Рис. 13.8. (см. скан)

Рис. 13.9. (см. скан)

Обозначая результат фильтрации через будем иметь

Предположим, что при положительных является прямоугольной функцией ширины с центром График функции легко получить, учитывая ее четность (рис. 13.8).

Таким образом,

Так как — четная функция (рис. 13.9), то в результате будем иметь

На рис. 13.10 приведена блок-схема устройства, позволяющего получить энергию сигнала в полосе

Рис. 13.10.

Измерение взаимной спектральной плотности (взаимного спектра) методом фильтрации.

Пусть вещественные функции. Их взаимная спектральная плотность, или

имный спектр, определяется соотношением

причем Функция в общем случае является комплексной

Вследствие эрмитовой симметрии функции

Отметим, что из вещественности функции вытекает вещественность функции Отсюда следует, что — вещественное число, ибо

Таким образом, необходимо ввести отрицательные частоты, так как иначе получилось бы, что — комплексное число.

Пропустим через два одинаковых фильтра (рис. 13.11), затем сформируем произведение и после этого осуществим интегрирование. Известно, что

Пусть имеет при положительных ту же форму, что

Рис. 13.11.

и в предыдущем случае. Так как вещественным фильтрам соответствуют четные функции то

Вследствие эрмитовой симметрии получим

Действительную часть взаимной спектральной плотности можно получить с помощью устройства, блок-схема которого приведена на рис. 13.11.

Вычисление мнимой части (в квадратурах) взаимной спектральной плотности. Мы умеем осуществлять операции фильтрации и интегрирования вещественных сигналов. В пространстве частот этот набор операций эквивалентен интегрированию с весом.

Чтобы операция вида давала мнимую часть функции , где

для остальных значений необходимо, чтобы удовлетворяла условиям (рис. 13.12):

Из этих условий следует, что . Действительно, пусть

тогда

Рис. 13.12.

Отсюда

Поэтому надо положить

Таким образом, является результатом фильтрации с помощью фильтра, частотная характеристика (или комплексное усиление) которого равна

Графики функций приведены на рис. 13.13.

Чтобы получить в пространстве частот функцию в пространстве-времени нужно иметь функцию

Обозначим фурье-образ функции Функцию можно интерпретировать как импульсную характеристику фазосдвигающего фильтра со сдвигом фаз на —90°. Следовательно,

Обозначим через результаты фильтрации соответственно фильтром с импульсной характеристикой Будем иметь

Рис. 13.13. (см. скан)

или Отсюда находим, что

Итак, чтобы получить (а следовательно, и ), достаточно осуществить сдвиг фазы на в одном из сигналов или

Отметим, что обладает эрмитовой симметрией, следовательно, — вещественная функция; но — мнимая нечетная функция, поэтому будет также нечетной. Отсюда следует вывод: — физически нереализуемая функция, так как из свойства следует, что не равна нулю тождественно при . Но это означает, что фильтр, сдвигающий фазу на физически невозможен. Однако можно создать приближенную модель такого фильтра. На практике изготавливают фильтры со сдвигом фазы, близким к для узкого диапазона частот.

В частности, гармонический сигнал, например при сдвиге фазы на превращается в . Но, поскольку

в данном частном случае фазовращающий контур на является обычным дифференцирующим контуром.

Рис. 13.14.

Замечание. Так как фурье-образ функции равен то результатом фильтрации с помощью фильтра с комплексным усилением будет свертка Полученное выражение определяет с точностью до знака преобразование Гильберта функции Итак, фильтр, сдвигающий фазу на , «выполняет» преобразование Гильберта. Схема устройства для получения мнимой части взаимной спектральной плотности приведена на рис. 13.14.

Рис. 13.15. (см. скан)

На рис. 13.15 приведена схема устройства, позволяющего получить действительную и мнимую части взаимной спектральной плотности.