12.3. Выделение сигнала на фоне шума. Усреднение

Основы метода.

Рассмотрим снова периодический сигнал. Но теперь нас будет интересовать не только обнаружение, но и выделение его на фоне шума, т. е. восстановление формы сигнала.

В разд. 10.2 мы видели, что взаимная корреляция периодического сигнала с гребневой функцией того же периода дает исходный сигнал. Пусть функция (разд. 2.6) имеет период . Рассмотрим функцию

С точностью до погрешности оценки . Следовательно, (с той же точностью). Мы получаем, таким образом, способ выделения сигнала из шума.

Увеличение отношения сигнал/шум.

Пусть Взаимная корреляция функций равна

Представим в виде суммы двух слагаемых:

и

Интеграл можно записать в виде

где

Обозначим целую часть отношения через М, тогда

или

Отсюда следует, что

Так как — периодическая функция с периодом , то

Интеграл представляет собой остаточной шум, так как он равен нулю только при бесконечно большом Т. Если Т имеет конечное значение, то дисперсия интеграф, являющаяся

дисперсией оценки равна

или

Полученное выражение можно записать в виде

Так как , то в предположении, что корреляция равна нулю при получим

Среднеквадратичное отклонение будет равно . Сравнивая отношение сигнал/шум до вычисления корреляции и после вычисления корреляции, найдем увеличение отношения сигнал/шум где М — число периодов, и усиление по амплитуде

Если Т — поушое время интегрирования, а — период сигнала, то

или

где — основная частота, т. е. самая низкая частота сигнала.

Выделение повторяющегося сигнала на фоне шума в случаях, когда известны моменты появления самого сигнала или связанного с ним вспомогательного сигнала.

В общем случае эта задача содержит два аспекта: 1) обнаружение сигнала; 2) выделение сигнала с наименьшей ошибкой.

Отметим два частных случая, когда нет необходимости устанавливать присутствие сигнала:

а) сигнал периодически повторяется через промежуток времени без изменения формы:

б) периодический сигнал обнаруживается всякий раз не непосредственно, а через предшествующее ему событие с известным временем появления (рис. 12.1).

Очевидно, что оба этих случая (периодический сигнал и сигнал, связанный со стимулятором не имеют принципиального различия. В целях упрощения выкладок предположим, что реализуется первый случай.

Рис. 12.1.

Метод, который будет изучен, известен под названием метода усреднения (или накопления данных). Укажем два наиболее важных его приложения:

• получение импульсной характеристики системы по отклику, который представляет собой импульсную характеристику, искаженную шумами;

• физиологические процессы, где имеют дело с изучением наведенных потенциалов.

При исследовании физиологических процессов измеряют разность потенциалов, которую изменяют в ходе процесса, используя для этого внешнюю контролируемую причину, называемую стимулятором. Так обстоит дело в электроэнцефалографии, электромиографии, электрокардиографии, электрокортикографии и др. Промежуток времени, в течение которого действует стимулятор, предполагается достаточно малым. Время между действием стимулятора и появлением отклика (говорят также «наведенного отклика») называется временем задержки (или мертвым временем). Оно равно временному сдвигу в импульсной характеристике.

Сформулируем две основные гипотезы, к которым, однако, нужно относиться с осторожностью (тем более что нет простых способов проверки их законности):

• сигнал повторяется тождественно, т. е. без изменения формы;

• сигнал жестко связан во времени со стимулятором, т. е. время задержки считается постоянным.

Основы метода усреднения.

Предполагая, что высказанные гипотезы справедливы, рассмотрим периодический сигнал содержащий шум . В электроэнцефалографии этим шумом будет электроэнцефалограмма, соответствующая нормальному режиму», а также всегда возможные помехи.

Условия, налагаемые на шум Прежде всего предположим, что шум является стационарным процессом порядка, так что его среднее значение средняя мощность и автокорреляционная функция инвариантны относительно трансляции вдоль временной оси.

Предположим также, что шум центрирован, т. е. его среднее значение равно нулю, а спектр не содержит постоянной составляющей. В этом случае дисперсия равна средней мощности Р, а называется эффективным значением шума.

Очевидно, что определенные выше средние значения тем ближе к точным, чем больше Т. Выражение представляет собой оценку величины

Усреднение. Итак, рассмотрим сигнал Так как — периодическая функция с периодом то

при любом целом

Запишем отношение сигнал/шум в виде Мы ввели отношение сигнал/шум по амплитуде, так как именно с этой величиной имеет дело исследователь.

Пусть М — число импульсов стимулятора за некоторый промежуток времени. Рассмотрим сумму М соответствующих

сигналов, деленную на

Положим тогда

Вследствие периодичности Следовательно,

отсюда вытекает равенство Найдем

Изменив порядок операций суммирования и усреднения, получим

Так как — центрированная функция, то

Вычислим

Отметим, что

тогда

Таблица 12.1. (см. скан)

Эта двойная сумма может быть преобразована (табл. 12.1) в сумму трех слагаемых:

Поскольку то

или

Если автокорреляционная функция шума равна нулю при любом времени запаздывания по модулю, большему или равному то

Если при этих условиях отношение сигнал/шум до усреднения было равно в результате усреднения оно стало равным

Мы пришли к классическому результату, согласно которому отношение олгнал/шум умножается на

Рис. 12.2.

Если же, напротив, автокорреляционная функция шума не равна нулю для (рис. 12.2), то

В этом случае отношение сигнал/шум на выходе определяется выражением

Таким образом, если автокорреляционная функция становится достаточно малой через несколько периодов уменьшение отношения сигнал/шум не будет существенным. Поэтому первоначальная гипотеза о том, что шум не коррелирован для времен, больших не является обязательной. Можно, следовательно, допустить, что в результате суммирования М сигналов отношение сигнал/шум умножается на Это означает, что если при усиление равно 10, то при оно

дополнительно увеличится только в 3,16 раза, так как

Ошибки, обусловленные природой шума.

Итак, увеличивая число М, мы могли бы получить сколько угодно большое значение отношения сигнал/шум. Однако число М ограниченно. Естественно, возникает вопрос: можно ли при фиксированном М увеличить отношение сигнал/шум? Единственный способ добиться этого состоит в увеличении этого отношения на входе интегратора. А этого можно достичь путем уменьшения эффективной величины шума входящей в знаменатель дроби Чтобы уменьшить надо применить фильтрацию. Однако проведение фильтрации вслепую связано с риском исказить форму сигнала Поэтому желательно было бы знать спектральную плотность сигнала чтобы использовать такой фильтр, параметры которого были бы подобраны в соответствии с (проблема оптимального фильтра).

Однако расчеты показывают, что улучшение отношения сигнал/шум подчиняется логарифмическому закону, и если удастся сделать фильтр, близкий к оптимальному, то дальнейшее его усовершенствование за счет более тщательной подгонки параметров не дает ощутимого эффекта.

Так как обычно форма сигнала бывает известна заранее, то его спектральную плотность находят с помощью преобразования Фурье. Исходя из этого, можно изготовить такой фильтр, который исключит все частоты, находящиеся вне спектральной полосы сигнала (рис. 12.3).

Рис. 12.3.

Классические интеграторы не позволяют провести необходимые измерения формы сигнала. Однако все чаще появляются приборы, с помощью которых эту процедуру можно выполнить. Осуществить после этого необходимую фильтрацию уже несложно.

Ошибки, обусловленные неприменимостью выдвинутых гипотез о свойствах сигнала.

Напомним эти гипотезы:

• время задержки между актом стимуляции и появлением сигнала постоянно;

• сигнал тождественно повторяет свою форму.

В общем случае нет никаких убедительных доводов в пользу этих гипотез. Напротив, имеется достаточно соображений, их опровергающих.

Рассмотрим первую гипотезу. Хорошо известно, что время задержки не постоянно; оно зависит от индивидуума и его психофизического состояния. Исследуем, что происходит, если время задержки флюктуирует около среднего значения. Ограничимся наиболее простым случаем, когда наведенный потенциал представляет собой узкий импульс (рис. 12.4).

Рис. 12.4.

Было бы ошибочно отсюда сделать вывод о форме наведенного потенциала. Результатом наблюдения является свертка где — распределение времени задержки — наведенный потенциал.

Иными словами, дело обстоит так, как будто истинный наведенный потенциал проходит через фильтр с импульсной характеристикой Отсюда следует, что можно сделать ложное заключение о различной форме наведенных потенциалов для двух лиц с сильно различающимися распределениями времен задержки, хотя не исключено, что отличаются друг от друга только функции распределения а не потенциалы. Кроме того, изменение во времени формы наведенного потенциала может быть вызвано изменением времени задержки. Поэтому необходимо уметь каким-либо методом определять функцию распределения

Предположим теперь, что время задержки постоянно, а форма наведенного потенциала меняется, т. е. она тождественно не повторяется. Здесь можно допустить серьезную ошибку. Если не повторяет тождественно своей формы, то, как известно, это равносильно добавлению к повторяющемуся сигналу медленно флюктуирующего шума. В данном случае метод суммирования не дает эффекта гашения шума пропорционально и даже в пределе процесс суммирования не приводит к исчезновению шума. Если предположить, что указанная добавка к наведенному потенциалу является медленно

меняющейся функцией, т. е. соответствующий ей спектр занимает полосу, меньшую, чем спектральная полоса наведенного потенциала, то тогда можно надеяться на улучшение с помощью фильтрации. Но верно ли это предположение? Можно лишь утверждать, имея в виду аналогию с электрооптикой, что параметры системы зависят от времени, т. е. система нестационарна, и что метод усреднения в данном случае, строго говоря, неприменим. Если же его все-таки применить, то получится не истинный наведенный потенциал, а некоторое среднее значение (в очень широком смысле) потенциалов, которые мы рассматриваем.

Вывод, который можно сделать в настоящее время, состоит в том, что метод усреднения — один из самых плодотворных; хорошо известно его успешное применение. Однако надо помнить, что для его применения требуется выполнение ряда условий. И если получаемые результаты оказываются в некотором смысле «странными», то надо в первую очередь пересмотреть эти условия.

Принцип действия многочисленных интеграторов описан в гл. 16.