11.3. Переходные функции

Определение переходной функции. Переходной (или апериодической) называется функция, которая не содержит периодичностей и значения которой существенно зависят от выбора начала отсчета времени. Следовательно, переходная функция не является стационарной (например, импульсная характеристика линейной системы).

Фурье-образ и спектр переходной функции.

Переходную функцию (которая не является периодической) нельзя разложить в ряд Фурье, однако, по крайней мере теоретически, можно представить интегралом Фурье. Таким образом, переходные функции обладают непрерывным спектром (спектральной плотностью).

Если — переходная функция, то

где — спектр функции . В общем случае — комплексная функция:

Модуль

и аргумент

функции называются соответственно спектральной плотностью амплитуды и спектральной плотностью фазы. Итак, можно сказать, что функция представляет собой сумму бесконечного множества синусоид с всевозможными частотами и бесконечно малыми амплитудами. С другой стороны, для определения фурье-образа этой функции нужно располагать всеми ее значениями от до что физически невозможно. В действительности функция определена на конечном интервале . А это означает, как мы уже видели, что спектр определен с точностью, не превосходящей по частоте (или по круговой частоте). На практике, например, величину Т выбирают так, чтобы вне интервала длительностью Т модуль импульсной функции не превосходил своего наибольшего значения. Иногда определяют Т, исходя из неравенства

Можно также связать интервал (или ) с комплексным спектром функции

Итак, функция определенная при всех значениях рассматривается на интервале Это эквивалентно умножению на прямоугольную функцию равную I на интервале и нулю вне его (рис. 11.5). Как было показано в гл. 6, подобная процедура приводит к искажению комплексного спектра функции

Если — фурье-образ прямоугольной функции, определяемый выражением то спектр

Рис. 11.5.

усеченной функции

Для уменьшения влияния операции свертки на спектр функции необходимо, чтобы график был много «шире» графика функции (рис. 11.6).

Рис. 11.6.

Физически реализуемые переходные функции.

Имеются в виду переходные функции, равные тождественно нулю при В этом случае предпочтительнее использовать преобразование Лапласа: многие типичные переходные функции нельзя представить интегралом Фурье, тогда как их изображение Лапласа существует. Примером подобной функции является

Выше было показано, что применение преобразований Фурье и Лапласа к функциям, обращающимся в нуль при 0, приводит к одному и тому же результату. Преобразование Лапласа является весьма удобным математическим аппаратом, имеются достаточно полные таблицы оригиналов и изображений, и физики часто используют это преобразование при расчете переходных процессов.

Автокорреляция и спектральная плотность энергии переходной функции.

Как и для случайных и периодических функций, положим в основу определения автокорреляционной функции переходной функции три операции: трансляцию вдоль временной оси, умножение и интегрирование. Однако в данном случае мы не делим результат интегрирования на время интегрирования, так как интеграл

сходится и его среднее значение (по времени) стремится к нулю.

Автокорреляционная функция (выражение (11.36)) обладает следующими свойствами: четная функция (согласно выражению (11.20)), достигает наибольшего значения при (согласно выражению (11.21)), и стремится к нулю с ростом так что

Фурье-образ автокорреляционной функции . Отсюда следует соотношение Функция называется спектральной плотностью энергии переходной функции. Следует отметить, что здесь идет речь именно о спектральной плотности энергии, а не мощности. Это ясно с физической точки зрения, ибо понятие мощности для переходной функции, не равной нулю на малом интервале времени, теряет смысл.

Отметим, наконец, что

Автокорреляционные функции часто встречающихся переходных функций приведены на рис. 11.7. На нем даны графики переходных функций, используемых в теории следящих систем; мы определяем эти функции с помощью преобразования Лапласа

Взаимная корреляция и взаимная спектральная плотность переходных функций.

По определению

Фурье-образ взаимной корреляционной функции представляет собой спектр энергии взаимодействия двух функций Выше мы уже установили, что такой спектр связан с энергией, которой обмениваются функции

(кликните для просмотра скана)

Взаимные корреляционные функции обладают следующими свойствами;

Корреляция и свертка вещественных переходных функций.

Выражение (11.37) для взаимной корреляционной функции может быть записано в виде

Таким образом, корреляция двух функций и у является сверткой при условии, что произведена инверсия аргумента функции у. Так как для вещественных сигналов , то преобразование Фурье приводит к соотношению