2.12 Физическая реализация фурье-образа. Преобразование Фурье в оптике

В когерентной оптике преобразование Фурье имеет физическую реализацию Действительно, любая дифракционная оптическая система с помощью когерентных волн ставит в соответствие освещенному объекту его изображение на некоторой плоскости, определяемой законами геометрической оптики, и двумерный фурье-образ на плоскости, определяемой законами дифракции. Следовательно, образование изображений и преобразование Фурье — два проявления одного и того же явления, называемого дифракцией.

Дифракция относительно плоского экрана по Рэлею — Зоммерфельду.

Точечный монохроматический световой источник называется когерентным световым источником. Если электрическое поле, образованное когерентным световым источником, известно на замкнутой поверхности не содержащей внутри себя источников, то, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, поле однозначно определено во внутренней области, ограниченной поверхностью Поэтому, согласно этому принципу, можно рассчитать дифракцию на плоском экране, выбирая соответствующим образом поверхность

Рис. 2.11.

Для вычислений используют уравнение Максвелла, описывающее распространение света в диэлектрике (рис. 2.11):

где Е — вектор напряженности безвихревого электрического поля, — оператор Лапласа:

Ниже приводится математическое описание дифракции, полученное Кирхгофом для одного частного случая.

Пусть поверхность образована плоскостью Р с отверстием и сферой бесконечно большого радиуса. На экран Р падает расходящаяся сферическая волна, порожденная точечным источником Вычислим величину световых колебаний в точке

Используя формулы Грина для введенных выше областей и поверхностей, получаем следующее выражение для

где — площадь отверстия, — нормаль к поверхности, А — амплитуда падающей волны перед дифракционной плоскостью, — длина монохроматической световой волны, — волновое число.

Отметим, что сферическая волна, испускаемая источником описывается выражением

Если экран освещается произвольным монохроматическим источником, то, используя принцип линейной суперпозиции, величину можно разложить на составляющие, соответствующие конечному или бесконечному множеству точечных источников:

где

— величина световых колебаний в точке излучающей поверхности.

Дифракция Френеля и Фраунгофера.

Дифракция Френеля. Рассмотрим теперь плоскость содержащую излучающую поверхность и плоскость наблюдений расположенную на расстоянии Z (рис. 2.12).

Рис. 2.12.

Предположим, что выполняются условия Кирхгофа (в частности, вне ) и размеры области намного меньше расстояния . Тогда . Представим в виде

и для получим выражение

Из вида выражения, стоящего в правой части уравнения (2.35), следует, что распространение света определяется линейной фильтрацией, осуществляемой пространственно-инвариантной весовой функцией

Фурье-образ этой весовой функции представляет собой комплексный коэффициент усиления:

где

Величины определяемые координатами точки называются пространственными частотами.

Приближение Фраунгофера. Если расстояние 2 достаточно велико то Поэтому

Выражение (2.36) с точностью до множителя представляет собой фурье-образ распределения поля на поверхности как функцию пространственных частот

Замечание 1. В условиях дифракции Фраунгофера отсутствует комплексный коэффициент усиления, поскольку нарушено условие пространственной инвариантности поля (выражение для нельзя представить в виде свертки).

Замечание 2. Для рассматриваемых на практике оптических частот условие выполняется крайне редко. Действительно, для (красный свет) и излучающей поверхности размером 2,5 см имеем

Рис. 2.13.

Перенос плоскости из бесконечности на конечное расстояние можно также осуществить с помощью тонкой линзы. Если поместить точку в фокальной плоскости линзы, то фурье-образ будет находиться в фокальной плоскости изображений линзы, поскольку в этом случае показатель множителя перед интегралом в выражении (2.36) равен нулю (рис. 2.13). Поэтому выражение для упрощается:

Функция двумерный фурье-образ функции распределения Очень важным является то обстоятельство, что здесь мы имеем возможность дать физическую интерпретацию фурье-образа. Это в свою очередь позволяет наблюдать спектр либо визуально, либо с помощью оптического детектора (фотодиода, видикона и т. д.).