12.4. Обнаружение скрытых периодичностей

Часто сигнал, в действительности непериодический, содержит скрытые периодичности. Рассмотрим сигнал в виде двоичного кода с несущей частотой Такой сигнал будет изображаться импульсами, каждый из которых представляет единицу Длина интервала между импульсами может принимать значения, кратные несущему периоду 0. Таким образом, длины интервалов не являются совершенно случайными, так как принимаемые ими значения могут быть равны только где К — целое положительное число. Отсюда вытекает, что автокорреляционная функция периодична с частотой

Кодированный сигнал может быть представлен последовательностью импульсов (по предположению мгновенных), разделенных промежутками и имеющих коэффициенты 0 или 1:

Найдем автокорреляционную функцию кодированного сигнала . Согласно определению (11.1), автокорреляционная функция будет равна

Полагая получим

Для вычисления интеграла воспользуемся известным свойством обобщенных функций

Пусть — целая часть отношения Если промежуток интегрирования в выражении (12.61) содержит точку т. е., если , то

Таким образом,

Полагая и учитывая, что

будем иметь

Обозначим

Если , то величина

представляет собой вероятность того, что любой коэффициент принимает значение 1:

Если то дает вероятность того, что принимают значение 1:

Поскольку независимы, то

Можно допустить, что коэффициенты двоичного сигнала принимают значения 0 и 1 примерно одинаковое число раз, т. е. . Отсюда для

Рис. 12.5.

В результате автокорреляционная функция запишется в виде (рис. 12.5)

где штрих у знака суммы означает, что

Примечание. Если вместо - функций взять импульсы ненулевой ширины то каждой «линии» прежней автокорреляционной функции соответствовал бы равнобедренный треугольник с основанием . Такая автокорреляционная функция представлена на рис. 12.6.

Рис. 12.6.