Глава 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Будьте осторожны при переходе железнодорожных путей! Проходящий поезд может скрывать поезд, движущийся по другому пути.
Совет управления французских национальных железных дорог.
4.1. Определение
Напомним, что фурье-образ функции 
дается формулой
существует только в случае сходимости интеграла в правой части равенства (4.1). Если же интеграл расходится, то его можно сделать сходящимся, заменив показатель экспоненты — 
комплексным числом
где 
Показатель 
называется комплексной частотой. Если же функция 
равна нулю при 
то получаем преобразование Лапласа, определяемое формулой
где 
настолько велико, что интеграл в правой части равенства (4.3) сходится. Число 
называется показателем сходимости.
Преобразование Лапласа представляет интерес для изучения переходных режимов, поскольку последние равны нулю для 
соответствует моменту времени, при котором начинается возмущение, порождающее переходный процесс) в силу принципа причинности: следствие не может предшествовать причине.
Преобразование Лапласа — рабочий инструмент физиков и специалистов в области автоматического регулирования. Другой причиной использования преобразования Лапласа является его применимость для тех функций, у которых
фурье-образ не существует из-за расходимости интеграла (4.1). Напомним также, что изображение Лапласа импульсного отклика линейной системы представляет собой передаточную функцию системы.
После осуществления преобразования Лапласа над сверткой (гл. 5)
получаем выражение для изображения Лапласа
Существуют таблицы изображений Лапласа, позволяющие по заданной функции 
(равной нулю для 
находить ее изображение Лапласа, и наоборот [1]. В случае гармонического режима в изображении Лапласа можно заменить 
на 
или 
.
