9.5. Последовательное вычисление среднего значения и дисперсии

Введение.

Итак, можно предполагать, что среднеквадратичная ошибка и дисперсия оценки имеют соответственно порядок Если рассматривают, как это часто бывает, дискретные сигналы, то рекомендуется вычисление дисперсии проводить рекуррентно.

Пусть - непрерывная случайная величина. Тогда среднее значение и дисперсия определяются выражениями

где — плотность вероятности случайной величины х.

В общем случае величина неизвестна, но можно оценить по выборке независимых и, следовательно, некоррелированных наблюдений. Поэтому дискретизации соответствует замена непрерывной случайной величины дискретной величиной для которой известно реализаций . Тогда среднее значение

среднее значение выборки

дисперсия

дисперсия выборки

Мы предполагали, что случайных реализаций независимы, т. е. — центрированные случайные величины (разд. 8.1).

На практике часто справедливы приближенные равенства:

Средние значения.

Из выражения (9.51а) имеем

Следовательно, оценка не смещена. Вычислим дисперсию оценки:

Имеем

Поэтому

Но . Окончательно получаем

Дисперсия.

По определению величина смещения оценки равна Запишем ее в виде

Имеем

Используя равенство и выражение (9.56), получаем Отсюда

Учитывая выражения (9.55), (9.56) и (9.58), получаем равенство или

Следовательно, величина смещения оценки равна

Несмещенную оценку получим, если вместо возьмем

Вычислим дисперсию оценки

Предполагая, что все подчиняются закону распределения Гаусса, и используя формулу (9.28), получим

Отсюда

Если реализации выборки независимы, то для и поэтому

Итак,

Отсюда

Для достаточно больших получаем

Последовательное вычисление среднего значения.

Обозначим . Имеем

Отсюда

Рекуррентное равенство (9.63) позволяет последовательно определить зная

Последовательное вычисление дисперсии.

Из выражения (9.62) получаем

Отсюда

Для достаточно больших справедливо выражение поэтому выражение (9.64) можно записать в виде

Это выражение наряду с другими можно использовать для вычисления дисперсии.

Последовательное вычисление дисперсии позволяет реализовать метод вычисления ошибки и проследить за ее изменением. Один из часто используемых методов состоит в том, что вычисляется приближенное значение или необходимое число реализаций обеспечивающее заданную точность оценки, а затем вычисляется дисперсия или среднеквадратичная ошибка.

Примечание. Если имеются вычислительные средства обработки сигналов, то необходимо всегда производить последовательное вычисление дисперсий. Для этого потребуются только небольшие дополнительные изменения в программе обработки сигналов. Такая процедура позволяет не только вычислять статистическую ошибку, но и обнаруживать сбой в аппаратуре и неправомерность основных предположений относительно обрабатываемых сигналов.