дисперсия выборки
Мы предполагали, что случайных реализаций независимы, т. е. — центрированные случайные величины (разд. 8.1).
На практике часто справедливы приближенные равенства:
Средние значения.
Из выражения (9.51а) имеем
Следовательно, оценка не смещена. Вычислим дисперсию оценки:
Имеем
Поэтому
Но . Окончательно получаем
Дисперсия.
По определению величина смещения оценки равна Запишем ее в виде
Имеем
Используя равенство и выражение (9.56), получаем Отсюда
Учитывая выражения (9.55), (9.56) и (9.58), получаем равенство или
Следовательно, величина смещения оценки равна
Несмещенную оценку получим, если вместо возьмем
Вычислим дисперсию оценки
Предполагая, что все подчиняются закону распределения Гаусса, и используя формулу (9.28), получим
Отсюда
Если реализации выборки независимы, то для и поэтому
Итак,
Отсюда
Для достаточно больших получаем
Последовательное вычисление среднего значения.
Обозначим . Имеем
Отсюда
Рекуррентное равенство (9.63) позволяет последовательно определить зная
Последовательное вычисление дисперсии.
Из выражения (9.62) получаем
Отсюда
Для достаточно больших справедливо выражение поэтому выражение (9.64) можно записать в виде
Это выражение наряду с другими можно использовать для вычисления дисперсии.
Последовательное вычисление дисперсии позволяет реализовать метод вычисления ошибки и проследить за ее изменением. Один из часто используемых методов состоит в том, что вычисляется приближенное значение или необходимое число реализаций обеспечивающее заданную точность оценки, а затем вычисляется дисперсия или среднеквадратичная ошибка.
Примечание. Если имеются вычислительные средства обработки сигналов, то необходимо всегда производить последовательное вычисление дисперсий. Для этого потребуются только небольшие дополнительные изменения в программе обработки сигналов. Такая процедура позволяет не только вычислять статистическую ошибку, но и обнаруживать сбой в аппаратуре и неправомерность основных предположений относительно обрабатываемых сигналов.