4.2. Связь между фурье-образом и изображением Лапласа
Рассмотрим функцию 
для которой существует фурье-образ
Имеем
или
Определим функции 
равенствами (рис. 4.1)
Будем предполагать, что для функций 
существуют фурье-образы, т. е. сходятся интегралы 
Полагая в интеграле 
(поскольку показатель сходимости 
), переходим от фурье-образа к изображению Лапласа
Аналогично осуществляется переход для функции 
Имеем
Отсюда получаем
где 
До сих пор предполагалось, что интегралы 
сходятся. Из этого следует, что функции 
не имеют полюсов на мнимой оси и правее ее. Если 
имеют один или несколько полюсов на мнимой оси, то
где
и
Если 
или 
имеют один или несколько полюсов правее мнимой оси, то фурье-образа не существует.
Рис. 4.1.
Функции, для которых изображения Лапласа имеют полюсы на мнимой оси и не имеют их в правой полуплоскости, являются незатухающими (в качестве примера можно привести колебательную систему). Если же изображения Лапласа имеют полюсы с положительной реальной частью, то соответствующие им оригиналы являются неустойчивыми функциями (например,
переходный процесс неустойчивой системы). Отметим, что на практике последние два случая встречаются редко. Поэтому для большинства функций 
можно предполагать, что изображения Лапласа от 
не имеют полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси. Тем самым предполагается справедливым равенство
Рассмотрим три важных частных случая:
Этот случай соответствует импульсному отклику физически реализуемых систем. Имеем
и поэтому
2. Функция 
— четная.
Имеем
Отсюда получаем
3. Функция 
— нечетная.
Имеем
Поэтому
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
