Функция
где
удовлетворяет этим условиям. Для 
справедливы соотношения
По определению 
— преобразование Гильберта функции 
:
Из выражений (2.29) и (2.30) следует равенство
Величина 
называется аналитическим сигналом, соответствующим 
Поскольку 
то для вычисления преобразования Гильберта достаточно осуществить фильтрацию сигнала при помощи фильтра с характеристикой 
Фильтр с частотной характеристикой 
осуществляет фазовое смещение положительных частот на —90° и отрицательных частот на 
Поэтому преобразованию Гильберта соответствует фильтр, осуществляющий фазовое смещение на угол 
соответствующий 
чтобы фурье-образ 
тождественно равнялся нулю для 
и был равен 
для 
Функция 
будет комплексной и 
Поэтому
