Глава 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Мой друг, что говорить о нас: Ни вы без меня, ни я без вас. (Мария Французская)

Существуют два способа описания произвольного сигнала. Первый способ основан на математическом представлении сигнала в виде где независимая переменная — время. Математическое представление сигнала по второму способу имеет вид где независимая переменная — частота (размерность обратна размерности Эти два представления сигнала связаны друг с другом преобразованием Фурье. Следовательно, использование методов обработки сигнала требует знания свойств преобразования Фурье. Этим объясняется включение данной главы в книгу.

Отметим, что вводимое здесь преобразование Фурье над функциями времени может быть применено и для функций других переменных. Например, если независимая переменная — длина, то переменной, аналогичной частоте, будет величина, обратно пропорциональная длине и т. д.

2.1. Преобразование Фурье периодических функций

Если — периодическая функция от с периодом Т, то ее можно представить в виде

или

где

Коэффициенты вычисляются по формулам

Если принять

Спектральная функция (в общем случае комплексная) может быть представлена в виде спектра амплитуд

или спектра фаз

Справедливы также формулы

Отрицательные значения введены с целью упрощения записи формул. Если — вещественная функция, то

Важно отметить, что спектр периодической функции с периодом Т дискретен и минимальное расстояние между точками спектра на оси частот равно Следовательно, спектр состоит из частот, кратных