11.5. Связь между входным и выходным сигналами линейной однородной во времени системы при условии, что входной сигнал является случайным и стационарным 2-го порядка

Линейная фильтрация.

В гл. 6 дано определение линейной фильтрации и соответствующей математической операции, которая называется сверткой. В случае линейного фильтра уравнение свертки связывает предшествующие по времени значения входного сигнала с его значением на выходе в данный момент посредством импульсной характеристики, которая полностью описывает линейную систему. Импульсная характеристика является откликом на мгновенный импульс единичной площади (фактически продолжительность импульса должна быть малой по сравнению с длительностью импульсной характеристики, т. е. переходной функции). Напомним, что преобразование Лапласа импульсной характеристики определяет передаточную функцию линейного фильтра. Напомним также, что свертке двух функций, зависящих от времени, соответствует обычное произведение в пространстве частот, и наоборот.

Формулы для средних значений.

Пусть — импульсная характеристика фильтра, тогда

Следовательно, . Таким образом, среднее значение y(t) равно среднему значению x(t), умноженному на алгебраическую площадь. Отсюда следует также, что линейный фильтр преобразует стационарный сигнал 1-го порядка таким образом, что свойство стационарности сигнала сохраняется. Кроме того, известно, что

Если т. е. если фильтр отсекает постоянную

составляющую, то среднее значение равно нулю при любой функции . Подобный фильтр оказывается центрирующим (разд. 8.11) и высокочастотным.

Интерференционные формулы.

Рассмотрим два линейных фильтра с импульсными характеристиками и комплексными усилениями соответственно (рис. 11.8).

Рис. 11.8.

Рис. 11.9.

Найдем взаимные корреляционные функции для

По теореме Фубини

Так как

то

Полагая , найдем

Полученное выражение можно записать в виде

Отметим, что

Тогда

В результате находим

Аналогично выводятся формулы

Переходя к фурье-образам, найдем

Аналогично вычисляются функции вида

В итоге получаем следующие выражения:

Два параллельно соединенных фильтра (рис. 11.9).

Если в формулах (11.43) и (11.47) положить то

получим

Аналогично выводятся соотношения

Соотношения между входным и выходным сигналами в линейной системе (рис. 11.10).

Если в соотношении (11.55) положить , то оно примет вид или

а соотношение (11.59) запишется в виде

Переходя в пространство частот, получим

Соотношения (11.61) и (11.62) интерпретируются следующим образом. Автокорреляционная функция выходного сигнала представляет собой свертку автокорреляционной функции импульсной характеристики системы и автокорреляционной функции входного сигнала. Интеграл свертки, связывающий вход и выход системы, устанавливает такую же связь между автокорреляционной функцией входного сигнала и взаимной корреляционной функцией входного и выходного сигналов.

Напомним, что если фильтр стабильный, т. е. его передаточная функция не имеет полюсов на мнимой оси и правее ее, то

Соотношения (11.61) — (11.64) упрощаются, если автокорреляционная функция входного сигнала является -функцией Дирака, т. е. если При этом условии соотношения

Рис. 11.10.

(11.61) и (11.63) принимают вид

Иными словами, если автокорреляционная функция входного сигнала может быть представлена -функцией, то фурье-образ автокорреляционной функции выходного сигнала равен квадрату модуля передаточной функции:

Безусловно, методом, использующим автокорреляционную функцию входного сигнала, можно найти только модуль передаточной функции (этот метод не дает никакой информации о ее фазе). Фазу можно определить по кривой усиления, применяя метод Боде — Байяра. Этот способ не очень удобен, так как он требует много вычислений. Однако в ряде случаев, например для систем, в которых сдвиг фазы мал, вполне достаточно определить модуль передаточной функции (т. е. кривую усиления), так как знание модуля дает важную информацию о системе.

Фильтрация белого шума.

Из сказанного выше следует, что при прохождении белого шума через линейную систему с малым сдвигом фаз с передаточной функцией автокорреляционная функция выходного сигнала, фурье-образ которой равен дает достаточную информацию о четырехполюснике. В связи с этим полезно иметь набор кривых усиления, отвечающих автокорреляционным функциям белого шума, пропущенного через стандартные фильтры. Несколько характерных кривых приведено на рис. 11.11. Часто оказывается удобным рассматривать стационарный шум порядка (по предположению центрированный), заданный с помощью автокорреляционной функции и спектральной плотности как белый шум, пропущенный через фильтр, модуль комплексного усиления которого удовлетворяет условию Автокорреляционная функция этого шума равна

Взаимная корреляция между входным и выходным сигналами. Идентификация процессов.

Если , то соотношения (11.62) и (11.64) преобразуются к виду

Итак, если на вход линейной системы подать сигнал, автокорреляционную функцию которого можно представить -функцией,

Рис. 11.11 (см. скан)

то взаимная корреляционная функция между входным и выходным сигналами будет равна импульсной характеристике системы. Этот важный результат применяется для практического определения переходных функций и идентификации процессов. Соответствующий метод подробно изучен в разд. 12.6.

Детерминированные сигналы.

Результаты гл. 10.5 применимы также и к детерминированным сигналам, если надлежащим образом определить корреляционные функции (разд. 11.2 и 11.3).

Нелинейные системы.

Методы, описанные выше, применимы только к линейным системам. В настоящее время ведутся работы по исследованию нелинейных систем. Однако еще слишком рано делать выводы о практическом значении полученных результатов.

Единственным методом изучения нелинейных систем пока является метод линеаризации в окрестности рабочей точки. При этом исследуется импульсная характеристика системы в малых окрестностях сначала одной рабочей точки, затем другой. Это дает возможность определить элемент характеристической кривой вместе с ее касательной в окрестности рабочей точки. В данном случае особенно полезен корреляционный метод, так как он позволяет возбуждать систему сигналом очень малой амплитуды и наблюдать за ней в течение большого промежутка времени.