12.8. Применение когерентности к измерению передаточных функций линейных и однородных во времени систем. Спектральная лупа

Смещение спектра.

В предыдущем разделе показано, как получить импульсную характеристику или передаточную функцию (комплексное усиление), возбуждая систему сигналом, близким к белому шуму. В этом случае измерение импульсной характеристики сводится к измерению взаимной корреляционной функции между входным и выходным сигналами, а измерение комплексного усиления — к измерению взаимного спектра Однако эти измерения обладают двумя ошибками: погрешностью оценки (см. гл. 9) и ошибкой, обусловленной тем, что спектр входного сигнала, строго говоря, не является постоянной величиной в рассматриваемой области частот (разд. 12.6).

По-видимому, ошибку второго типа можно было бы скомпенсировать (хотя бы частично), если учесть истинные значения Что касается погрешности оценки, она будет тем больше, чем меньше (ширина эквивалентного фильтра) (разд. 13.8),

что следует из равенства (разд. 9.3)

Таким образом, чтобы получить приемлемую дисперсию, нужно ограничить снизу некоторой минимальной величиной. Мы будем, следовательно, иметь не а

что порождает систематическую ошибку для спектральной плотности. В разд. 13.4 будет показано, что смещение, определенное выражением

оказывается равным

Отсюда вытекает, что смещение будет больше в той части спектра, где имеется «узкая линия» (резонансная система с малым затуханием). Для уменьшения смещения надо уменьшить , т. е. увеличить точность анализа. На первый взгляд это кажется невозможным, так как все точек спектра распределены по спектральной полосе, которую нужно анализировать. Однако существует метод «спектральной лупы» (см. ниже), который состоит в замене соответствующей частоты и в сосредоточении исследуемых точек в полосе шириной с границами где . В результате степень точности анализа определяется отношением Хотя при этом систематическая ошибка уменьшается, но возрастает погрешность оценки и уменьшается отношение сигнал/шум. Ниже мы убедимся, что можно уменьшить и систематическую ошибку, и погрешность оценки, вычисляя передаточную функцию как отношение взаимного спектра входного и выходного сигналов и спектра входного сигнала.

Применение функции когерентности.

В гл. 11 выведено фундаментальное соотношение

имеющее в пространстве частот следующий вид:

Отсюда следует, что

Так как — вещественная функция, то

Рассмотрим снова функцию Величины определяются с некоторыми ошибками, но эти ошибки не независимы. Ниже мы исследуем погрешность оценки

Погрешность оценки функции когерентности.

Доказано [5], что

Из этого соотношения вытекает, что погрешность оценки тем меньше, чем ближе к 1 функция когерентности. Из табл. 12.2 видно, как уменьшается величина по сравнению приближением . Из табл. 12.2 видно, что погрешность оценки функции когерентности, когда эта функция близка к 1, много меньше погрешности оценки спектральной плотности. Даже при значениях равных нескольким единицам, оценка когерентности оказывается довольно точной.

Таблица 12.2 (см. скан)

Погрешность оценки H(v).

Доказано [5], что погрешность оценки определяется формулой

где определяет точность анализа, — оценка функции когерентности. Из формулы следует, что погрешность для тем меньше, чем ближе к 1 оценка

Общая ошибка для состоит из двух ошибок: погрешности оценки и систематической ошибки. Мы исследуем систематическую ошибку, так как именно она может оказаться более существенной, поскольку она не уменьшается с увеличением промежутка интегрирования.

Пусть — систематические ошибки соответственно для . Так как по определению смещения

то

Аналогично

Следовательно,

или

Если спектральная плотность сигнала постоянна в интересующей нас полосе, можно считать, что систематическая ошибка равна нулю. С другой стороны, при этих условиях отличается от постоянным множителем, поэтому и мы имеем Таким образом,

или

Если , а величина мала по сравнению с 1, то

Выше мы уже говорили, что . Следовательно,

Мы получили совершенно неожиданный результат: дисперсия абсолютной величины функции тем меньше, чем меньше ширина анализируемой полосы. Поэтому для измерения передаточной функции нужно иметь эквивалентный фильтр с предельно узкой полосой пропускания».

Из рассмотренного выше вытекает следующая методика быстрого и эффективного получения передаточных функций. Надо:

1) возбудить систему таким сигналом, спектральная плотность которого была бы возможно ближе к постоянной в той области, где по предположению передаточная функция не равна нулю;

2) измерить исходя из отношения взаимного спектра и спектра

3) измерить когерентность

4) выбрать результаты измерений, соответствующие тем частотам, при которых когерентность близка к 1.

Если выбрать частоты, при которых когерентность больше 0,9, то погрешность оценки окажется в 50 раз меньше погрешности, полученной классическим методом; при одинаковых погрешностях время интегрирования будет в 50 раз меньше того времени, которое необходимо по классической методике.

Системы, с близко расположенными резонансными линиями.

Комплексное усиление таких систем содержит узкие зоны, в которых спектральная плотность принимает большие значения (для простоты мы называем эти зоны «линиями»). Задача спектрального анализа состоит в том, чтобы эти линии не были пропущены при расчете спектра. Ведь не исключено, что расчетные точки спектра будут расположены достаточно далеко от линий. Конечно, этого можно избежать, если соответствующим образом осуществить дискретизацию спектральной плотности. Но это не всегда удается.

Кроме того, надо помнить о систематической ошибке, возникающей при расчете спектра. Как было показано, эту

ошибку можно уменьшить, уменьшая но тогда возрастает погрешность оценки (разд. 9.9), т. е. мы сталкиваемся с двумя противоречивыми условиями.

Если применить метод, описанный в предыдущем разделе, и исходить из отношения то величину можно выбрать настолько малой, чтобы разделить две соседние линии. Но если вместо мы захотим взять меньшее значение то должны будем рассчитать точек спектра, что существенно снижает ценность метода.

На практике предпочитают сгруппировать точек в полосе шириной около некоторой частоты Это достигается простым приемом: в пространстве частот производится трансляция путем умножения цифрового сигнала на Этот способ называется методом спектральной лупы.

Метод спектральной лупы.

Рассмотрим вещественный сигнал Его спектральная плотность будет вещественной четной функцией (рис. 12.22).

Рис. 12.22.

Предположим, что спектральная плотность ограничена полосой , и осуществим дискретизацию с частотой и дискретизацию с шагом Применим метод спектральной лупы в окрестности частоты задавшись точностью анализа . Анализируемая полоса будет иметь ширину

Умножая на получим комплексный сигнал действительная и мнимая части которого соответственно равны (рис. 12.23).

Если есть фурье-образ то (рис. 12.24)

Так как анализируемая полоса ограничена частотами где то для ее выделения надо произвести фильтрацию сигнала. Пусть — импульсная характеристика низкочастотного фильтра с частотой отсечки (рис. 12.25).

Рис. 12.23. (см. скан)

Фильтрация сигнала математически эквивалентна его свертке с импульсной характеристикой:

Рис. 12.24. (см. скан)

Схема этой операции приведена на рис. 12.26.

Так как частота дискретизации равна то ту же частоту имеют Однако для дискретизации сигнала достаточно взять частоту так как протяженность спектра равна

Рис. 12.25.

Рис. 12.26.

Если то дискретизацию сигнала можно осуществить, если из дискретизации сигнала брать каждую точку. Такую фильтрацию несложно получить с помощью трансверсального фильтра (реализующего операцию свертки) с очень небольшим числом операций. Например, для реализации цифрового фильтра, точность пропускной полосы которого дБ, достаточно осуществить 16 сложений и 6 умножений независимо от сужения полосы, которое мы хотим иметь. К комплексному сигналу, отфильтрованному таким образом, применяется затем классический алгоритм быстрого преобразования Фурье. Общая схема процесса представлена на рис. 12.27.

Следует отметить, что если для берется произведение ВТ, то для вместо надо брать произведение . Что касается дисперсии погрешности оценки спектральной плотности то она возрастет в раз. Следовательно, метод

Рис. 12.27. (см. скан)

спектральной лупы не улучшает оценку, как это было при использовании отношения взаимного спектра к спектру самого сигнала.