14.6. Основные характеристики временных и спектральных окон

Из изложенного выше следует, что три основных метода получения оценки в которых используются естественные или временные весовые окна, приводят в пространстве частот к свертке функции и спектрального окна Чтобы иметь возможность сравнивать и выбирать весовые функции, необходимо ввести какие-либо простые параметры, характеризующие функции и особенно Прежде чем переходить к классическим определениям, напомним некоторые свойства окон, и в частности нормировку временных окон.

Нормировка временных весовых окон.

Пусть дана спектральная плотность, значения которой не зависят от частоты: (белый шум). В этом случае Отсюда вытекает следующее свойство весовых функций первого семейства:

Именно в этом содержится объяснение того, что временная весовая функция должна принимать значение, равное 1 при Мы примем такую нормировку для весовых функций, используемых в методе коррелограмм.

Рассмотрим вещественные и четные функции второго семейства. Пусть — временное окно, — соответствующее спектральное окно, тогда

Следовательно,

Отсюда

т. е.

Такая нормировка принята для временных весовых окон, используемых в методах периодограмм и фильтрации.

В расчетах можно брать либо либо с последующим умножением результата на

Площадь окна Q(v). Потеря информации.

Если то

Следовательно, в данном случае

т. е. сохраняется полная мощность.

Рис. 14.1. Площадь окна и потеря информации.

В практических расчетах ограничиваются вычислением площади (рис. 14.1)

где соответственно 1-й положительный и 1-й отрицательный нули функции

Пусть

Параметр называют обычно потерей информации. Этот параметр, возможно выбранный не очень удачно, определяет долю энергии, соответствующую площади боковых выбросов.

Ширина полосы пропускания центрального пика функции Q(v).

Имеется несколько определений ширины полосы пропускания узкополосного фильтра. Поскольку спектральное окно эквивалентно некоторому фильтру, соответствующему определенному временному окну, то эти определения можно распространить и на спектральные окна.

Рис. 14.2. Ширина полосы пропускания по уровню половинной мощности.

Введение понятия ширины спектрального окна является весьма полезным, так как позволяет сравнить различные весовые функции.

Ширина полосы пропускания по уровню половинной мощности.

Обозначим (рис. 14.2) , где Эта полоса пропускания соответствует изменению мощности на 3 дБ. Действительно, значения спектральной плотности, представленной в форме свертки -функции Дирака и спектрального окна, в точках на 3 дБ меньше ее максимального значения, соответствующего центральной частоте.

Примечание. Пусть - спектральные плотности соответственно на входе и выходе системы. Тогда в случае фильтра имеем

а в случае спектрального окна имеем

Определяя ширину полосы, мы полагаем, что - белый шум в случае фильтров и -функция Дирака в случае спектральных окон.

Эквивалентная шумовая полоса пропускания. Эквивалентная шумовая полоса пропускания определяется выражением

где — ширина полосы пропускания такого прямоугольного спектрального окна, которое пропускает сигнал с той же дисперсией, что и данное спектральное окно при воздействии на него сигналом со спектральной плотностью

Эквивалентная статистическая полоса пропускания. Эквивалентная статистическая полоса пропускания определяется выражением

Это ширина полосы пропускания такого фиктивного прямоугольного окна, которое пропускает сигнал с той же статистической ошибкой, что и данное спектральное окно при воздействии на него сигналом со спектральной плотностью, представленной -функцией.

Другие характеристики спектральных окон.

К основным характеристикам спектральных окон относятся:

• амплитуда выраженная в безразмерных единицах (амплитуда, соответствующая центральной частоте);

• — ширина на половине высоты в безразмерных единицах;

• положение 1-го положительного выброса в безразмерных единицах;

• относительная амплитуда 1-го положительного выброса: (1-й положительный выброс ;

• положение нуля (если он существует): — в безразмерных единицах;

• положение нуля (если он существует): в безразмерных единицах;

• положение отрицательного выброса (если он существует) ;

• относительная амплитуда отрицательного выброса (если он существует): (1-й отрицательный выброс) ;

• потеря информации

потеря информации

— ширина эквивалентной шумовой полосы пропускания;

— ширина эквивалентной статистической полосы пропускания.

Безразмерной единицей для первого семейства является а для второго семейства

Существуют также и другие характеристические параметры.

Приведем некоторые из них:

— ширина полосы пропускания центрального пика;

• отношение выраженное в децибеллах, т. е.

потеря информации, выраженная в децибеллах:

наклон огибающей боковых выбросов, выраженный в децибеллах на октаву;

• центральный пик спектрального окна характеризуется также шириной и эксцессом, для оценки которых используются отношения для спектральных окон первого семейства и отношениями для спектральных окон второго семейства (эти отношения могут быть выражены в децибеллах).

Замечание.

Отношение иногда называемое «сглаженностью» спектрального окна, характеризует точность измерения амплитуды. Действительно, при обработке сигнала, например, методом периодограмм, точность анализа равна . Отношение = Измеренная амплитуда/Максимальная амплитуда служит характеристикой точности измерения амплитуды.

Разделение двух пиков.

Разрешение. Разделение двух соседних пиков, или резонансных линий, зависит от качества оценки функции , следовательно, от временного окна. Ширина основания центрального пика окна равна Условие разрешения двух пиков с близкими амплитудами и центральными частотами записывается в виде неравенства [4]: . Этому условию удовлетворить труднее, если спектральное окно ближе к прямоугольному, и легче, если окно ближе к треугольному. Оно неприменимо, если две резонансные линии соответствуют существенно различным мощностям. Однако это скорее свойство применяемого временного весового окна, а не практическое правило.

Оценка спектральной плотности с помощью временного окна.

Смещение. Оценка спектральной плотности одним из трех классических методов имеет вид

Ей соответствует смещение

Полезно напомнить, что оценка называется сходящейся, или корректной, если при или Если временному окну отвечает спектральное окно которое стремится к при или то т. е. оценка корректна.