11.2. Периодические функции

Автокорреляционная функция и спектральная плотность.

По определению автокорреляционная функция периодической функции с периодом равна

где — целое число. Эта автокорреляционная функция обладает рядом свойств, из которых мы приведем лишь основные. Она является четной:

имеет минимум при

и представляет собой квадрат эффективного значения исходной функции.

В данном случае применима теорема Винера — Хинчина, по которой корреляционная функция является фурье-образом спектра мощности, и наоборот:

Но если есть фурье-образ то

Символ X обозначает функцию, комплексно сопряженную с функцией X. Кроме того, справедливы следующие соотношения:

Так как - периодическая функция, то ее спектр дискретен и интегрирование сводится к суммированию

где . Разлагая в ряд Фурье

получим

Отсюда вытекает важное свойство функции автокорреляционная функция периодического сигнала имеет тот же основной период, что и сигнал и содержит все частоты этого сигнала, и только эти частоты. Действительно, как мы только что видели, фурье-образ автокорреляционной функции представляет собой спектр мощности и поэтому равен квадрату фурье-образа самой функции. А это означает, что автокорреляционная функция содержит все частоты функции и только эти частоты.

Амплитудный спектр автокорреляционной функции представляет квадрат амплитудного спектра данной функции (разд. 2.2). Фазовый спектр автокорреляционной функции тождественно равен нулю. Таким образом, автокорреляционная функция сохраняет частотную информацию и теряет фазовую информацию. Итак, хотя автокорреляционная функция периодического сигнала сохраняет периодичность сигнала, она дает искаженный образ сигнала, и это искажение тем больше, чем богаче частотами сигнал. Очевидно также, что существует бесконечно много функций, имеющих одну и ту же автокорреляционную функцию, а именно все функции с одним и тем же основным периодом и одинаковым амплитудным спектром, но с разными фазовыми спектрами.

На рис. 11.4 а, 11.4 б, 11.4 в приведены графики некоторых часто встречающихся функций и соответствующих им автокорреляционных функций.

Из рассмотренного выше следует, что выбор начала отсчета для функции не влияет на автокорреляционную функцию, так как изменение яачала отсчета приводит к общему сдвигу фазы в каждой периодической составляющей функции

(кликните для просмотра скана)

Рис. 11.4 в.

Взаимная корреляция двух периодических функций с одинаковым основным периодом.

Пусть — общий период функций тогда

Если где представляют собой фурье-образы функций то

Из этих выражений видно, что корреляционная функция двух периодических функций с одним и тем же основным периодом есть также периодическая функция с тем же основным периодом. Произведение представляет собой спектр мощности взаимодействия двух функций, которое обусловлено информацией, относящейся к одной из функций и содержащейся в другой. Это означает, что две функции, являясь независимыми, могут обмениваться энергией, равной в среднем нулю, а следовательно, и информацией, среднее значение которой также равно нулю (например, функции

Взаимная корреляция двух периодических функций с различными периодами.

Пусть и - периодические функции с периодами соответственно. Их можно рассматривать как две новые функции с периодами такими, что Тогда очевидно, что взаимная корреляционная функция этих периодических функций будет иметь в качестве основного период биений Т. При этом

Связь между корреляцией и сверткой в случае периодических функций.

Взаимная корреляция и свертка функций определяются соответственно выражениями

Видно, что операция свертки аналогична корреляции и отличается от нее инверсией аргумента в одной из функций. Осуществляя) преобразование Фурье свертки, получим

Если одна из функций четная, например то и можно сделать вывод, что операции свертки и корреляции тождественны. В данном случае корреляция может быть интерпретирована как линейная фильтрация.

Взаимная корреляция произвольной периодической функции с гребневой функцией того же периода.

Пусть — гребневая функция с периодом Т (разд. 2.6). Эта функция равна нулю всюду, кроме точек где — целое. Так как — четная функция, то результаты операций свертки и корреляции будут тождественны. Известно, что свертка периодической функции с гребневой функцией того же периода дает функцию следовательно, тот же результат получается и для корреляции. Таким образом, операция взаимной корреляции периодической функции с гребневой функцией того же периода приводит к функции

Пределы интегрирования при вычислении корреляции в случае периодических функций.

Мы определили корреляционную функцию с помощью интеграла по промежутку Поэтому во избежание ошибок необходимо ограничивать пределы интегрирования одним периодом. Однако в случае периодической подынтегральной функции интегрирование можно распространить на промежуток, длина которого равна произвольному целому числу периодов. Если длина промежутка не равна целому числу периодов, то ошибка будет тем меньше, чем больше периодов содержится в промежутке интегрирования. Итак, можно брать такой промежуток Т, длина которого велика по сравнению с периодом Т. Таким образом, мы приходим к интегралу с бесконечными пределами. В разд. 12.1 и 12.2 мы исследуем случай, когда автокорреляционные функции и взаимные корреляционные функции периодических сигналов вычисляются посредством интегралов по промежутку, длина которого не равна целому числу периодов.