13.13. Точность определения спектральной плотности, полученной преобразованием Фурье корреляционной функции [1]

Влияние погрешности оценки корреляционной функции.

Пусть - оценка корреляционной функции Функцию можно записать в виде

где - погрешность оценки. Переходя в пространство частот, будем иметь

В практических расчетах ограничиваются вычислением при Значения при отрицательных х получаются на основе свойства четности функции Рассмотрим

Так как вещественная четная функция, то

Пусть — длина промежутка интегрирования, тогда импульсная характеристика интегрирующего фильтра будет равна 1 на промежутке и 0 вне промежутка, т. е. . В пространстве частот имеем .

Теперь находим Простые, но громоздкие вычисления величин для гауссова процесса [1] дают

где — ширина эквивалентного фильтра, равная — максимальный сдвиг для коррелометра. Из полученного соотношения определяем

Так как максимальное и минимальное значения отношения равны соответственно , то

откуда

В результате получаются оценки дисперсии и среднеквадратичного отклонения Можно принять

Мы приходим к тому же результату, что и в случае измерения спектральной плотности методом фильтрации [выражение (9.48)].

Важное примечание.

Сравнение формул (9.48) и (9.37) показывает, что мы имеем в одном случае а в другом Если В — ширина полосы, — точность анализа, то где — число точек спектра. Следовательно, для корреляции а для спектральной плотности так что

Предположим, например, что корреляционная функция измерена с точностью (это позволяет определить «на глаз» вид графика функции). Если теперь рассчитать 100 точек спектра (коррелометр со 100 точками), то получим Для коррелометра с 400 точками .

Таким образом, для спектрального анализа необходимо вычислить корреляционную функцию на промежутке длиной Т, соответствующей а не

Опыт показывает, что эти результаты внушают пессимизм и кажутся парадоксальными в том смысле, что спектральный анализ с помощью корреляции приводит к большей погрешности оценки, чем методы прямого преобразования Фурье или фильтрации.

Влияние систематической ошибки при определении корреляционной функции на спектральную плотность, полученную преобразованием Фурье [1].

Исследуем теперь случай, когда автокорреляционная функция задана значениями, каждое из которых определено с ошибкой Будем предполагать, что ошибки, соответствующие разным значениям, между собой независимы. Здесь идет речь о систематических ошибках (разд. 10.4). Допустим, что коррелометр дает значения

где — приращение сдвига (период дискретизации корреляционной функции). Пусть . Применим преобразование Фурье к обеим частям соотношения (13.30):

По предположению ошибки независимы, следовательно, некоррелированы, поэтому

Отсюда вытекает оценка

Учитывая соотношение , где ширина эквивалентного фильтра, получим

Допустим, что дисперсия не зависит от индекса (это предположение хорошо выполняется в случае систематических ошибок): для всех Следовательно,

Положим

тогда

Эти соотношения были экспериментально проверены Фоком

Трудно сделать общие выводы из последнего соотношения, так как величина ошибки зависит от точности анализа Отметим все же, что если при уменьшении (в рамках теоремы Шеннона) точность анализа возрастает, ошибка значительно увеличивается, так как уменьшается избыточность дискретных значений

Частные случаи. Белый шум. В этом случае Поскольку то

Итак, ошибка пропорциональна числу точек коррелометра, но корреляционная функция равна нулю всюду, кроме поэтому все эти точки не играют никакой роли.

Корреляционная функция почти совпадает с синусоидой (фильтр с очень узкой полосой). В этом случае Ошибка уменьшается с ростом числа точек. Это естественно, так как чем дольше длится периодический сигнал, тем точнее удается определить его характеристики — частоту и амплитуду.

Между этими крайними случаями имеются всевозможные промежуточные. В частности, моделирование показало, что для осциллирующих и «умеренно» затухающих имеет место соотношение т. е. нет зависимости от

В заключение отметим, что влияние ошибки при переходе от корреляционной функции к спектральной плотности в очень большой степени определяется формой спектра. Сомнительным является утверждение, что ошибка пропорциональна так как в ряде практических случаев такая зависимость от не дает даже правильного порядка величины.

Важное примечание.

Приведенные выше рассуждения имеют непосредственное отношение к процедуре перехода от сигнала к его фурье-образу (разд. 13.2). Если значения функции определены с систематической ошибкой 1%, какое влияние окажет эта ошибка на фурье-образ Проведенные рассуждения служат лишь первым приближением решения проблемы. Для более точного ответа на поставленный вопрос потребовались бы значительные усилия.

Вычисления, выполненные в этом и предыдущем разделах, показывают, что ошибка в определении корреляционной функции проявляется впоследствии по-разному в зависимости от того, систематическая ли это ошибка, или погрешность оценки. Однако гипотезы о характеристиках этих ошибок мало отличаются. Оба результата совпадают только для белого шума. Что касается других случаев, то замечание, приведенное выше, подтверждает, по-видимому, выводы, сделанные здесь для общего случая. По всей вероятности, ошибка в расчете спектральной плотности окажется существенно меньше, если находить спектр с помощью преобразования Фурье корреляционной функции.