7.2. Теоремы дискретизации

Доказательство теорем дискретизации легко проводится с помощью временного и частотного представлений сигналов, что служит еще одним подтверждением эффективности преобразования Фурье, связывающего эти два представления. При идеальной дискретизации время наблюдения сигнала бесконечно мало, т. е. дискретизация осуществляется с помощью бесконечно быстрых импульсов, совокупность которых образует так называемую гребневую функцию (разд. 2.6).

Пусть задан сигнал Осуществление дискретизации с частотой означает умножение функции на сумму импульсов Дирака, разделенных промежутками Такую сумму импульсов Дирака можно записать в виде

Известно, что

Рис. 7.1. а — сигнал; б — спектр в случае дискретизации с частотой в — спектр в случае дискретизации с частотой

Отсюда получаем

Обозначим через дискретизованный сигнал. Имеем

Последнее равенство можно представить в виде

Используя формулу Пуассона, получаем соотношение

Из выражения (7.5) следует, что спектр сигнала представляет собой «периодическую» функцию с периодом (рис. 7.1). Пусть фурье-образ равен нулю для , т. е. спектр сигнала расположен на интервале

длиной . Тогда справедлива теорема дискретизации (теорема Шеннона):

Для того чтобы периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией сигнала, не изменяло повторяемый спектр, необходимо и достаточно выполнение неравенства -Рассмотрим спектр сигнала который можно представить в виде

Умножая последнее равенство на прямоугольную функцию (напомним, что функция равна нулю вне интервала ), получаем первоначальный спектр

К обеим частям равенства (7.6) применим обратное преобразование Фурье. Используя соотношение получаем

В последнем равенстве заменим согласно формуле (7.3). Имеем

Но

Поэтому

Из формулы (7.7) следует важная теорема восстановления (теорема Шеннона).

Если для частоты дискретизации справедливо неравенство , где — наибольшая частота спектра функции то функция однозначно восстанавливается по дискретным значениям

Функция называется интерполяционной функцией Шеннона. Однако, как это уже отмечалось выше, рассмотренная дискретизация никогда не может быть реализована, поскольку невозможно осуществить дискретизацию с помощью измерений в бесконечно малый промежуток времени.

Дискретизация последовательностью периодических импульсов произвольной формы (рис. 7.2).

На практике дискретизация осуществляется устройством, импульсный отклик которого в отличие от обобщенной функции Дирака распределен на отрезке ограниченной длины .

Рис. 7.2.

Введем величину дискретизации

Поскольку функция равна нулю вне интервала выражение (7.8) можно записать в виде

или

Соответствующее распределение, которое можно интерпретировать как распределение масс хкте, сосредоточенных в точках имеет вид

Отсюда

Из формулы (7.12) следует, что функция получена с

помощью идеальной дискретизации функции

функцию можно рассматривать как сигнал на выходе фильтра с импульсным откликом . Применяя преобразование Фурье к выражению (7.12), получаем

где

Часть центрированного относительно начала координат спектра дается выражением

Выделим часть центрированного спектра, умножая правую часть соотношения (7.14) на функцию

Выражение (7.17) является фурье-образом функции

которую запишем в виде свертки

или, используя выражение (7.10), в виде

Выражение (7.20) является интерполяцией Шеннона функции . Следовательно, используя интерполяцию Шеннона в условиях реальной дискретизации, получаем вместо сигнала сигнал на выходе фильтра с импульсным откликом

Дискретизация с усреднением.

В дальнейшем рассматривается дискретизация с помощью последовательности импульсов конечной ширины. Таким импульсам соответствуют средние значения функции в течение длительности импульса (рис. 7.3).

Рис. 7.3.

Проведем вычисления, не используя полученные выше результаты. Имеем

Используя прямоугольную функцию которая равна 1 в интервале и нулю вне этого интервала, получаем

Из равенства

получаем выражение для дискретизованной функции

Переходя в равенстве (7.24) к фурье-образам, имеем

Из (7.25) следует, что при усреднении заменяется функцией

Сомножитель приводит к сдвигу фазы, не изменяя модуль спектральной функции. Спектр получается из спектра с помощью функции фильтра, модуль и сдвиг фазы которой равны соответственно

Рис. 7.4.

Таким образом, вместо используется периодическое продолжение функции (рис. 7.4). Часть центрированного относительно начала координат спектра равна

Итак, фильтрация изменяет модуль спектра в раз. Исследуем влияние такой фильтрации на модуль спектра. Пусть Коэффициент фильтрации принимает вид Для того чтобы влияние фильтрации было меньше одного процента для всех частот вплоть до необходимо выполнение неравенства . Отсюда получаем

Пусть (дискретизация с частотой Шеннона). Тогда т. е. ширина импульса дискретизации должна быть меньше 16% расстояния между импульсами. Пусть Тогда т. е. ширина импульса может составлять 80% расстояния между импульсами. Если влияние фильтрации уменьшить до 0,1%, то 16% и 80%) следует заменить на 4% и 20%. Поэтому влиянием ширины импульсов дискретизации пренебречь нельзя.

Исследуем теперь влияние сдвига фаз. Угол сдвига фаз в радианах равен или в градусах . Поскольку Сдвиг фазы Для ломаке будет меньше 5°, если Пусть, как и в предыдущем примере, что соответствует ошибке в модуле не больше 1%. Тогда сдвиг фазы для макс составит 14,4°.

Блокирующая дискретизация.

В момент времени производится дискретизация и запоминается ее значение, например, иметь время для выполнения аналого-цифрового преобразования. Время , затраченное на хранение, может быть намного меньше, чем длина интервала усреднения .

Следовательно, в этом случае благодаря малой ширине импульса дискретизации можно использовать результаты предыдущего раздела, полученные для дискретизации с помощью импульсов бесконечно малой ширины.