8.10. Распределение Гаусса, или нормальное распределение

Нормальное распределение вероятностей, играющее важную роль в теории и приложениях благодаря его интересным свойствам, можно определить либо с помощью плотности вероятности, либо через характеристическую функцию -мерная плотность вероятности распределения Гаусса

где - определитель ковариационной матрицы

является алгебраическим дополнением определителя соответствующим элементу . Элементы

Характеристическая функция нормально распределенной Димерной случайной величины имеет вид

где

Здесь — моменты 1-го порядка (средние); — моменты 2-го порядка, (дисперсии). Все моменты распределения Гаусса выражаются через моменты порядков. В частности, для одномерного случая

Пусть — центрированная случайная величина. Тогда

где — момент порядка.

Если число — нечетное, то подынтегральная функция в последнем равенстве нечетная, и поэтому

Пусть — четное число. Имеем

Вычисляя последний интеграл по частям, получаем Аналогично вычисляем

Для нецентрированной случайной величины имеем

Отсюда

Используя последнюю формулу, можно вычислить моменты любого порядка. Например, для первых 6 моментов имеем