9.2. Оценка корреляционных функций

Общее выражение для корреляционной функции имеет вид

Если сигналы эргодичны и стационарны, то

и

Смещенность оценки.

Используя теорему Фубини, получаем

Итак,

т. е. оценка не смещена.

Дисперсия оценки корреляционной функции [2—5].

Так же,как в разд. 9.1, получаем равенства

Из выражения (9.27) видно, что дальнейшее вычисление является сложным, поскольку необходимо знать статистический момент четвертого порядка Эта сложность сохраняется и в общем случае, так как для вычисления дисперсии оценки момента некоторого порядка необходимо знать моменты более высокого порядка. Дальнейшие вычисления можно осуществить для классического случая, когда — случайные гауссовы процессы. Известно, что для гауссова процесса моменты любого порядка выражаются через моменты первого и второго порядков.

В частности, можно показать, что для четырех случайных нормально распределенных величин справедливо равенство

Используя это равенство, подынтегральное выражение в выражении (9.27) можно разложить на следующие составляющие:

Предположим, что по крайней мере одна из случайных функций центрирована. Тогда Известно, что

и . Поэтому

Итак, осталось вычислить двойной интеграл.

Обозначим

Тогда

Из формулы (9.15) получаем равенство

Предположим, что функции являются интегрируемыми на всей числовой оси. Тогда

т. е.

Поэтому при .

Итак, оценка состоятельна. По определению оценка состоятельна, если при неограниченном возрастании объема выборки.

При достаточно большом Т справедлива формула

Для автокорреляционной функции имеем приближенное равенство

Полагая получим

Для достаточно больших справедливы соотношения

поэтому

Для дальнейших вычислений необходимо наложить на случайный сигнал дополнительные условия.

Пусть — белый шум, ширина полосы которого равна В. Тогда

Используя формулу (9.34), получаем

Первое слагаемое интеграла запишем в виде

Известно (разд. 2.13), что

Поэтому

Второе слагаемое интеграла запишем в виде

Введем новую переменную тогда

Поэтому для второго интеграла получаем

Итак,

Последнее равенство после нормировки принимает вид

Полагая получим

Если

Следовательно, дисперсия оценки ограничена сверху числом

Некоторые авторы, в частности Бенда [4], исследовали случаи высокочастотных, низкочастотных и полосовых фильтров первого и второго порядков. Произведя довольно сложные вычисления, они показали, что для достаточно больших значений (превышающих 1000) справедлив аналогичный результат.

Следовательно, можно предполагать, что для всех случаев справедливо неравенство

Из (9.37) следует, что среднеквадратичное отклонение меньше или равно Поэтому, если оцененная корреляционная функция является центральной линией полосы шириной (рис. 9.3), то эта полоса образует доверительную область для истинной автокорреляционной функции с доверительной вероятностью 68%.

Рис. 9.3.

Взаимная корреляционная функция. Из выражения (9.33), следует, что является суммой двух интегралов:

Произведя сложные вычисления при ранее сделанных предположениях, получаем неравенство

Здесь, как и выше, дисперсия нормирована по отношению к мощности сигналов. Нам кажется, что такая нормировка является более обоснованной, чем использование некоторыми авторами отношения поскольку последнее отношение неопределенно при

Примечание. Из формулы

следует, что, зная ошибку оценки корреляционной функции, можно вычислить ошибку оценки среднеквадратичного значения сигнала