6.4. Связь между фильтрацией и сверткой

Из сказанного выше следуют два соотношения:

1. Временная фильтрация эквивалентна частотной свертке (свертка фурье-образов).

2. Частотная фильтрация эквивалентна временной свертке (свертка временных функций).

Существуют устройства, которые реализуют операцию свертки (рис. 6.6). Следовательно, умножителю относительно преобразования Фурье соответствует свертыватель, и наоборот (рис. 6.7).

Рис. 6.6.

Рис. 6.7.

Примечание 1. Важно отметить, что при реализации отмеченных выше различных типов частотной фильтрации производится операция свертки, так как на практике сигнал всегда задается во временном представлении, а не в частотном.

Примечание 2. Отметим также, что любое измерительное (передающее) устройство не регистрирует (не передает) весь спектр частот. Даже самый совершенный аппарат не воспринимает частоты выше некоторой максимальной частоты . Итак, каким бы ни было измерительное устройство, спектр любого сигнала оказывается фильтрованным. Следовательно, любой реальный сигнал можно представить в виде свертки наблюдаемого сигнала и частотной характеристики измерительного устройства.

Изменение временного представления сигнала будет приводить к изменению его частотного представления, и наоборот (сравните рис. 6.5 и 6.2). Но поскольку сигнал всегда регистрируется на конечном промежутке времени, это приводит к изменению спектра сигнала. Аналогично, поскольку регистрирующее устройство воспринимает только ограниченную полосу частот, это вызывает изменение временного представления сигнала.