§ 94. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Как и уравнения механики, уравнения Максвелла могут быть записаны в лагранжевой форме, часто применяемой в современной теории поля. Для вывода полевых уравнений Лагранжа экономнее всего воспользоваться принципом наименьшего действия, или вариационным принципом. Важным преимуществом вариационного подхода является единообразие вывода как уравнений поля, так и вытекающих из них законов сохранения. Ради общности разумно сформулировать вариационный принцип для произвольного поля, а электромагнитное поле рассмотреть в качестве примера, иллюстрирующего общий метод.
Пусть некоторое поле описывается 
независимыми функциями 
пространственно-временных координат. В основе вариационного подхода
к теории поля лежит выбор гамильтонова действия 
которое должно быть некоторым функционалом от поля и обычно берется в виде
Здесь 
некоторый 4-объем; 
плотность функции Лагранжа, или лагранжева плотность, являющаяся релятивистски инвариантной функцией от поля и его первых производных.
Для формулировки вариационного принципа зададим произвольное бесконечно малое преобразование координат и полей:
Кроме полной вариации поля 
нам понадобится еще вариация формы полч, определяемая как
Из (94.3) следует важное свойство вариации формы:
Ограничиваясь величинами первого порядка малости, имеем
Таким образом, полная вариация связана с вариацией формы соотношением
С помощью (94.4) и (94.5) нетрудно установить, что
Получим, наконец, вариацию элементарного 4-объема 
предварительно найдя якобиан 
преобразования координат с точностью до величин первого порядка малости по 
откуда
Теперь у нас есть все подготовительные формулы для вычисления вариации действия:
Вводя обобщенный полевой импульс
и используя соотношения (94.5) и (94.6), находим
что с учетом соотношения
преобразуется к виду
Подстановка (94.10) и (94.7) в (94.8) даег
Первое слагаемое в (94.11), имеющее вид четырехмерной дивергенции, можно привести с помощью теоремы Гаусса — Остроградского к интегралу по замкнутой гиперповерхности а, окружающей 4-объем 
В результате получается следующее выражение для полной вариации действия, известное в вариационном исчислении как формула Лдамара:
Исключая из поверхностного интеграла 
при помощи (94.5) и вводя канонический тензор энергии — импульса
можно привести 
к форме, наиболее часто используемой в физике:
Формула Адамара (94.14) является основой вариационной формулировки теории поля и позволяет получить как уравнения поля в лагранжевой форме, так и вытекающие из них законы сохранения. Для этого необходимо принять следующий вариационный принцип.
Уравнения, которым подчиняются полевые функции 
таковы, что их решения реализуют экстремум функционала действия 
среди всех функций, принимающих заданные значения на границе области 
Согласно этому принципу, объемный интеграл в (94.14) должен исчезать, а так как вариации 
произвольны, то для этого необходимо, чтобы выполнялись равенства
которые, согласно (94.9), принимают вид
Это и есть лагранжева форма уравнений поля.
Очевидно, что с учетом уравнений (94.15) формула (94.14) упрощается и вариация действия 85 оказывается зависящей лишь от вариаций поля и координат на граничной гиперповерхности а:
Применим теперь изложенный формализм к электромагнитному полю. В этом случае роль полевых функций будут играть 4-потенциалы 
в качестве лагранжевой плотности можно использовать инвариант
Чтобы убедиться в том, что предложенная лагранжева плотность является правильной, вычислим сначала обобщенный полевой импульс Учитывая, что 
находим
поэтому
С другой стороны,
так что уравнения Лагранжа (94.15) принимают вид
После поднятия индекса X эти уравнения, очевидно, совпадают с (79.2), т. е. с первой группой уравнений Максвелла. Что же касается второй группы уравнений Максвелла (79.4), то она, как известно, эквивалентна соотношению 
