§ 2. УСЛОВИЕ МАКРОСКОПИЧНОСТИ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА

Ознакомившись с основными опытными фактами, лежащими в основе электродинамики, их необходимо, следуя индуктивному методу, сопоставить друг с другом, проверить взаимную согласованность и установить минимальный набор

фундаментальных уравнений, из которых следуют все остальные. По существу, именно это и было сделано Максвеллом (1864).

Но сначала обратим внимание на то, что все опыты проводились с макроскопическими телами, т. е. с телами, содержащими большое число заряженных частиц Поэтому и уравнения, которые могут быть выведены из этих опытов, тоже должны быть макроскопическими. Чтобы приспособить к новым условиям уже известный математический аппарат, проще всего положить в его основу понятие физически бесконечно малого объема Под последним обычно понимается объем, достаточно малый по сравнению с объемом V макроскопического объекта, но вместе с тем содержащий достаточно много частиц, чтобы отношения типа где полный заряд внутри , мало менялись при изменении Последнее означает, что характерный размер намного превосходит среднее расстояние между частицами Если ввести характерный размер макроскопического объекта станет ясно, что

В дальнейшем, называя теорию макроскопической, мы будем подразумевать, что так введенный масштаб является в ней минимально возможным, т. е. все рассматриваемые расстояния превосходят его:

В макроскопической теории отношение является вполне определенной функцией точки (которую естественно считать центром области А К) и называется плотностью электрического заряда (макроскопической). Таким образом,

При этом заряд в произвольной области V равен

Введем теперь еще одно важное понятие — плотности электрического тока Для этого рассмотрим площадку с нормалью (рис. 2.1) и подсчитаем заряд пересекший ее за промежуток времени Выделим сначала заряды имеющие скорости лежащие в некотором интервале со средней скоростью Тогда все такие заряды, находящиеся в призме с высотой и основанием пройдут за время через площадку Учитывая, что плотность выделенных

Рис. 2.1

электрических зарядов равна

находим заряд, пересекший площадку за отрезок времени со средней скоростью у:

Теперь, чтобы найти полный заряд достаточно лишь просуммировать по всем возможным интервалам

где введена плотность электрического тока

Из (2.4) сила тока сквозь поверхность равна

Запишем теперь закон сохранения электрического заряда (1.2) для некоторого объема К, окруженного замкнутой поверхностью (рис. 2.2). В этом случае (2.6) и теорема Гаусса — Остроградского дают

В предположении, что поверхность не изменяется со временем, (1.2) примет вид

Так как объем V выбран произвольно, то

(закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме).

Задача 2.1. (см. скан)

Рис. 2.2

Мы уже говорили о делении зарядов на связанные и свободные. Сохраняя обозначения для плотностей свободных зарядов и токов, полные плотности, очевидно, можно представить в виде

Иногда встречается несколько иное деление зарядов: на собственные (принадлежащие веществу) и внесенные (или сторонние), причем первые удовлетворяют условию нейтральности среды

где интеграл берется по всему объему вещества. Мы, однако, не будем отличать собственные заряды от связанных, т.е. будем полагать рсоб рсвяз, хотя такое отличие иногда бывает существенным (например, при описании ионизованной среды — плазмы). Если же связанные заряды не удовлетворяют условию нейтральности

то избыточный заряд можно условно объявить свободным.

В большинстве электродинамических задач предполагается, что закон сохранения имеет место как для свободных, так и для связанных зарядов в отдельности, т. е. исключаются процессы перехода связанных зарядов в свободные и обратно. Поэтому разумно принять, что

В дальнейшем мы изучим сначала наиболее простой случай, допустив, что распределение зарядов и токов задано, т. е. рполн и суть известные функции Поскольку здесь не выделяются связанные заряды, этот случай эквивалентен электромагнитному полю в вакууме. В последующем мы максимально приблизим задачу к реальной, приняв, что известно лишь распределение свободных зарядов и токов, Этот случай является наиболее общим и соответствует рассмотрению электромагнитного поля в веществе.