§ 25. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

Можно выделить особый класс задач электростатики, относящихся к случаю, когда поле на бесконечности не исчезает, а стремится к некоторому постоянному однородному полю Рассмотрим два простейших примера задач такого рода, когда во внешнем поле находятся проводящий либо диэлектрический шары.

1. Поместим начало координат в центр проводящего шара радиуса а и выберем сферические координаты (направление соответствует Для простоты заземлим шар, тогда внутри него потенциал Вне шара при потенциал совпадает с потенциалом внешнего поля — Чтобы удовлетворить граничному условию из общего решения (16.11) уравнения Лапласа необходимо выбрать часть, пропорциональную

Из полученного решения видно, что во внешнем поле шар поляризуется и приобретает дипольный момент При этом поверхностная плотность заряда на нем оказывается равной (рис. 25.1)

2. Рассмотрим диэлектрический шар с проницаемостью в во внешнем поле По аналогии с предыдущим случаем потенциал вне шара (область 1) будем искать в виде

тогда как внутри шара (область 2) дипольный член должен отсутствовать, поскольку он расходится при а поле внутри шара должно быть конечным. Поэтому полагаем

Рис. 25.1

Подставляя потенциалы (25.3) и (25.4) в граничные условия (22.9), получаем систему уравнений для определения неизвестных постоянных Разрешая ее, находим что соответствует следующему виду потенциалов:

Анализируя решение (25.5), убеждаемся, что напряженность поля внутри шара постоянна и равна

Это означает, что шар имеет постоянную поляризованность

которая соответствует дипольному моменту шара

и поверхностной плотности связанных зарядов

Обратим внимание на то, что в пределе решение задачи с диэлектрическим шаром переходит в соответствующее решение задачи с проводящим шаром. Физически это объясняется тем, что при в связанные заряды становятся свободными и диэлектрик ведет себя как проводник.

(см. скан)

Рис. 25.2