§ 12. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

До сих пор предполагалось, что а являются произвольными функциями Однако, как правило, они оказываются кусочно-непрерывными функциями координат, т. е. претерпевают разрывы на некоторых границах раздела. Обусловлено это тем, что применяемые на практике технические устройства включают в себя элементы, обладающие различными

В связи с этим можно получить решение уравнений Максвелла лишь в отдельных областях пространства, где коэффициенты а непрерывны. Полученное таким образом общее решение системы дифференциальных уравнений содержит некоторые произвольные функции. Чтобы их определить и получить решение для всей совокупности областей, необходимо наложить граничные условия, или, как говорят, «сшить» решения на границах областей.

Эти условия «сшивания», налагаемые на векторы легко вывести, используя интегральную форму уравнений Максвелла (10.4). В самом деле, применять в пограничной области уравнения в дифференциальной форме нельзя, так как поля на границе могут терпеть разрывы, поэтому пространственные производные от них могут не существовать. Однако уравнения в интегральной форме, безусловно, должны выполняться, так как они являются непосредственным следствием экспериментальных фактов.

Используем, например, интегральную теорему Гаусса (3.4) в применении к вектору [см. (10.4)]. В качестве объема V возьмем бесконечно малый цилиндр с основанием и высотой верхний и нижний торцы которого лежат соответственно в диэлектриках 2 и 1 (рис. 12.1). Так как цилиндр мал, то уравнение

запишется в виде

где нормаль к поверхности раздела, -длина окружности основания, среднее значение нормальной к боковой поверхности составляющей

Пусть при фиксированном При вычислении предела учтем, что всюду ограничено, так что слагаемое исчезает. Однако в пограничной области могут существовать столь большие скопления заряда, что

Рис. 12.1

Рис. 12.2

даже в пределе заряд внутри цилиндра на элементе граничной поверхности может быть отличным от нуля и равным

где - поверхностная плотность электрического заряда. Окончательно при имеем

Следовательно, нормальная составляющая вектора электрической индукции не имеет разрыва на поверхности раздела двух диэлектриков только в том случае, когда на последней нет свободного поверхностного заряда. При наличии же поверхностного заряда нормальная составляющая изменяется на границе скачком на

Аналогично получаются граничные условия и для вектора магнитной индукции В. Согласно последнему из уравнений (10.4),

откуда

т. е. нормальная составляющая вектора магнитной индукции не имеет разрыва на поверхности раздела двух магнетиков.

Применим первое из интегральных уравнений Максвелла (10.4) к контуру С (рис. 12.2), получающемуся при рассечении цилиндра (рис. 12.1) вдоль нормали

где единичный вектор, касательный к поверхности раздела. Пусть теперь при малом фиксированном Тогда

Примем во внимание конечность а также то, что в пограничной области могут протекать столь большие токи, что даже в пределе сила тока, протекающего сквозь контур С на участке поверхности раздела, может быть отлична от нуля и равна

Вектор называется в таких случаях плотностью поверхностного тока. В результате имеем

Подставив в (12.5), найдем, ввиду произвольной ориентации к в касательной плоскости,

Таким образом, касательная проекция вектора напряженности магнитного поля непрерывна на границе раздела двух сред, если отсутствует поверхностный ток проводимости. При наличии же последнего она испытывает на границе раздела скачок, равный

Аналогично выводится граничное условие для касательной проекции вектора напряженности электрического поля. Оно следует из второго уравнения (10.4) и имеет вид

т. е. касательная проекция вектора напряженности электрического поля не имеет разрыва на поверхности раздела двух сред.

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными в и имеют вид