§ 87. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Релятивистские уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно также представить в форме канонических уравнений Гамильтона:

Для этого следует, пользуясь лагранжианом (86.9), определить канонические обобщенные импульсы

разрешить уравнения (87.2) относительно обобщенных скоростей наконец, построить гамильтониан системы

выразив его через обобщенные координаты и импульсы

Однако в декартовых координатах эту процедуру можно сократить, воспользовавшись соотношением (86.8) и тождеством Учитывая, что обобщенный 4-импульс имеет компоненты находим

Разрешая (87.4) относительно получаем

Найденное выражение и представляет собой функцию Гамильтона, соответствующую релятивистскому движению заряженной частйцы в электромагнитном поле.

Задача Получить канонические уравнения Гамильтона, отвечающие гамильтониану (87.5).

Замечая, что в нерелятивистском случае выражение (87.5) можно упростить, воспользовавшись малостью отношения

Ограничившись первым нетривиальным членом разложения, имеем

что при отсутствии магнитного поля совпадает с обычным нерелятивистским гамильтонианом с точностью до аддитивной постоянной

На основании выражения (87.5) нетрудно получить и релятивистское уравнение Гамильтона—Якоби для функции действия Для этого заметим, что [см. (86.5)]

Поэтому подстановка (87.7) в (87.4) дает

(релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби для заряда в электромагнитном поле).

(см. скан)