и убывает при 
как 
В частности, при 
получаем поле одиночного заряда (моно-поля), при 
поле диполя, при 
поле квадруполя и т. д.
Рис. 19.1
Коэффициенты мультипольного разложения (19.2) зависят от характера распределения заряда 
Чтобы установить эту зависимость, обратимся к общей формуле (19.1) и произведем в ней разложение в ряд Тейлора:
справедливое при 
Тогда
или в координатной форме
где введен тензор 
-польного момента
Одним из неудобств координатного мультипольного разложения (19.6) является то, что не все слагаемые в нем независимы, так как, согласно (19.3), потенциал 
-поля должен содержать только 
произвольную постоянную, а число независимых компонент у тензора 
равно
(см. скан)
Таким образом, между потенциалами типа (19.6) должны существовать тождественные соотношения — по 
соотношений на каждый 
-поль. Чтобы понять, в чем здесь дело, изучим поле отдельного мультиполя подробнее. Сначала построим 
-поль. Перенесем заряд 
на вектор 
и в точку, где он
Рис. 19.2
находился, поместим новый заряд 
Так строится диполь 
Сместим теперь диполь на вектор 
и в точки, где размещались прежние заряды, поместим заряды противоположных знаков. Так получается квадруполь (рис. 19.2), соответствующий значению 
Совершив указанную операцию 
раз, мы и получим 2-поль.
(см. скан)
Очевидно, что число различных 
-полей определяется числом независимых комбинаций 
векторов 
Допустим, что к векторов мы установили вдоль оси 
Тогда 
оставшихся векторов можно установить либо вдоль оси X, либо вдоль оси 
Таких комбинаций возможно 
так как вдоль оси X можно установить 
векторов. Следовательно, полное число комбинаций равно
и совпадает с числом независимых компонент тензора 
Однако не все эти комбинации приводят к независимым потенциалам. В самом деле, при 2 среди 
векторов могут встретиться два одинаковых, т.е. 
где 
один из базисных векторов. В этом случае между потенциалами (19.9) появится линейная связь, основанная на тождестве
Таких тождеств, очевидно, столько же, сколько существует возможностей выбора двух совпадающих векторов, т. е. 
Отсюда ясно, что число независимых потенциалов 
равно
как и должно быть согласно (19.3).
(см. скан)
Вычислим теперь напряженность 
электрического поля, создаваемого диполем с дипольным моментом 
Полагая в 
имеем:
Картина линий напряженности этого поля изображена на рис. 19.3 (см. задачу 1.3).
Рис. 19.3
(см. скан)
Рассмотрим более подробно квадрупольный член разложения потенциала произвольной ограниченной системы зарядов. Согласно (19.6), имеем
Учитывая тождества (19.10), к тензору квадрупольного момента 
всегда можно добавить единичный тензор вида 
где а — постоянная. Поэтому при расчете 
вместо (19.7) удобно использовать формулу
Построенный тензор 
удовлетворяет инвариантному условию
и поэтому имеет не шесть, а только пять независимых компонент в полном согласии с (19.11).
(см. скан)
На практике, пользуясь мультипольными разложениями (19.2) или (19.6), обычно ограничиваются лишь первыми несколькими членами ряда. Для выяснения точности такого приближения воспользуемся оценкой, вытекающей из (19.6):
где 
В частности, если плотность заряда ограничена, т.е. 
то, согласно (19.7), 
Сравнивая потенциалы ближайших мультиполей 
замечаем, что если 
одного порядка, то
Поэтому, ограничившись первыми неисчезающими членами разложения в (19.6), мы получаем тем лучшее приближение, чем меньше а 
только внутри 
Пусть область V конечна и может быть включена в некоторый шар радиуса а. Поместим начало координат О в центр этого шара и введем обозначения: 
-радиус-вектор точки наблюдения, 
радиус-вектор произвольного заряда (рис. 19.1).
Поскольку на таких расстояниях 
потенциал 
удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому представляет собой убывающую часть общего решения (16.11):
мультипольными моментами порядка 
данной системы зарядов, а число 
мультипольностью. Очевидно, потенциал 
-поля имеет вид 
