§ 61. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ И ПОГЛОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

В оптике хорошо известно явление дисперсии света, т. е. зависимость скорости распространения света в среде от его частоты Так как [см. (38.4)]

то показатель преломления среды также зависит от частоты. Подобная зависимость наблюдается не только в оптическом диапазоне, но и для электромагнитных волн любых других частот. Первое удовлетворительное объяснение явления дисперсии и одновременно поглощения электромагнитных волн в средах было дано в рамках электронной теории Лоренца.

Очевидно, что явление дисперсии в первую очередь связано с влиянием электромагнитного поля распространяющейся в среде волны на дипольные моменты молекул: Для упрощения примем, что молекулы достаточно массивны, а частота достаточно велика, поэтому можно пренебречь изменением со временем. Таким образом, будем учитывать лишь индуцированный дипольный момент

В качестве модели молекулы рассмотрим отдельный электрон с зарядом и массой те, смещенный на относительно положительно заряженного остова. Если скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, т. е. то в выражении для силы Лоренца можно пренебречь вкладом магнитной индукции В волны, поскольку В Принимая еще, что электрон удерживается в молекуле квазиупругой силой — и учитывая силу реакции излучения, запишем уравнение движения электрона в виде

Решение этого уравнения можно использовать для вычисления полной плотности тока в среде, если предположить, что основной вклад в нее дают электроны. В частности, считая среду однородной с электронной концентрацией имеем

Запишем теперь усредненные уравнения Максвелла-Лоренца (57.6):

и будем считать все величины в них периодическими во времени:

Учитывая, что, по закону сохранения заряда,

— поляризованность, запишем уравнения Максвелла в виде

Здесь

Для нахождения поляризованности воспользуемся уравнениями (61.1) и (61.2). Именно: рассматривая лишь установившееся движение электрона, т. е. полагая

и считая, что напряженность мало меняется в пределах молекулы, из (61.2) выводим

Наконец, принимая напряженность действующего поля равной

и учитывая (61.6) и (61.7), находим из (61.1)

Здесь где у — коэффициент лучистого трения; собственная частота колебаний электрона в изолированном атоме; собственная частота электронных колебаний в атоме в среде (т. е. измененная под влиянием полей окружающих атомов); плазменная частота, соответствующая колебаниям свободных электронов в квазинейтральной среде (плазменные или ленг-мюровские колебания).

(см. скан)

Имея выражение (61.8) для поляризованности, нетрудно найти и вектор электрической индукции:

где введена комплексная диэлектрическая проницаемость

Здесь уместно заметить, что у в (61.10) можно считать коэффициентом лучистого трения только в предположении, что столкновения молекул друг с другом и со свободными электронами маловероятны. В самом деле, в результате столкновений часть энергии электронов переходит в энергию движения самих молекул, т. е. в теплоту. Эти потери энергии электронами необходимо добавить к чисто электромагнитным потерям на излучение. Феноменологически это делается добавлением к у некоторой не зависящей от части.

Полученное выше выражение для характерно для однорезонансной осцилляторной модели вещества, в которой предполагается, что собственные частоты всех электронов одинаковы и равны На самом же деле это не так, тем более что нужно учитывать еще и колебания ионов, собственные частоты которых обычно лежат в инфракрасной области. Для того чтобы учесть все электронные частоты, обычно вводят функцию распределения дисперсионных электронов по частотам Нормируя ее на единицу, т. е. полагая

можно интерпретировать как концентрацию электронов, собственные частоты которых лежат в интервале В таком случае выражение (61.10) принимает вид

Интересно, что такое же выражение получается и в квантовой теории, где называется силой осциллятора.

Каков физический смысл комплексной диэлектрической проницаемости? Для выяснения этого выделим действительную и мнимую части Тогда

Из (61.12) следует, что является четной, а - нечетной функциями частоты:

и, кроме того, справедливо неравенство

Как было показано еще в § 50, связано с тепловыми потерями. Для того чтобы убедиться, что это действительно так и что тепловые потери пропорциональны явно положительному значению подсчитаем среднюю за период мощность силы «трения» действующей на отдельный электрон:

Выделяемая тепловая мощность получается умножением этого выражения на концентрацию электронов и интегрированием по

Учитывая выражения для вытекающие из (61.7) и (61.8), получаем

Сравнивая (61.15) с выражением для джоулевых потерь

приходим к выводу, что электропроводимость среды и связаны между собой:

В частности, для металлов, в которых основной вклад в проводимость дают свободные электроны с имеем

Это соотношение называется формулой Друде — Зинера и выражает зависимость электропроводимости металлов от частоты.

Заметим, что с помощью (61.16) выражение для в приводится к виду

откуда следует, что для металлов в статическом пределе в имеет полюсную особенность типа

где а — статическая электропроводимость.

Особый интерес представляет структура в для плазмы, в которой основную роль играют свободные электроны с т. е. можно положить согласно (61.11),

Очевидно, что такое поведение диэлектрической проницаемости характерно для любой среды в пределе чрезвычайно высоких частот, поскольку при все электроны можно считать свободными. Если в (61.20) пренебречь потерями, т. е. положить то получим

Изучим теперь распространение электромагнитных волн в диспергирующей среде. Начнем с самых простых плоских монохроматических волн, т. е. положим в уравнениях (61.4)

где постоянные векторы. Тогда с учетом (61.9) имеем:

Исключая из этих уравнений приходим к волновому уравнению

которое допускает два типа решений, соответствующих поперечным и продольным волнам.

Поперечные волны удовлетворяют условию т. е. векторы к образуют правую ортогональную тройку (рис. 61.1). В этом случае из волнового уравнения (61.23) выводим, что

т. е. волновой вектор к является комплексным. Считая, что волна распространяется вдоль оси т.е. полагая имеем

где

комплексный показатель преломления.

Рис. 61.1

Рис. 61.2

Для выяснения физического смысла рассмотрим плоскую электромагнитную волну:

где длина волны в вакууме. Отсюда следует, что определяет затухание амплитуды волны на расстоянии порядка длины волны и поэтому называется коэффициентом поглощения. Что же касается то это обычный показатель преломления, определяющий скорость перемещения поверхности постоянной фазы т. е. фазовую скорость волны

Разделяя действительную и мнимую части в соотношении находим:

Зависимость в простейшем случае, когда вблизи частоты имеется лишь одна изолированная собственная частота и поэтому можно ограничиться однорезонансным приближением, дана на рис. 61.2 [ - кривая кривая 2]. Анализ зависимости показывает, что коэффициент у, обычно удовлетворяющий условию имеет смысл ширины линии поглощения.

В частности, в области прозрачности вещества, т. е. вдали от линии поглощения, когда и можно положить в однорезонансном приближении

Вспоминая, что и разрешая (61.29) относительно приходим к соотношению

(формула Лоренца — Лоренца). Она была выведена независимо друг от друга в 1869 г. датчанином Лоренцем, в 1873 г.— Дж. К. Максвеллом и в 1879 г.— Г. А. Лоренцем (результат

Максвелла остался при этом незамеченным). Согласно (61.30), при заданной частоте оказывается пропорциональным концентрации электронов. Очевидно, что формула Лоренца — Лоренца является обобщением соотношения Клаузиуса — Мосотти (58.26).

Перейдем к рассмотрению второго типа плоских волн в среде — продольных. В этом случае поэтому из уравнений (61.22) следует, что

т. е. эти волны чисто электрические и могут существовать только для тех частот которые являются корнями уравнения

Если со достаточно велико, то в пренебрежении потерями можно воспользоваться упрощенным выражением (61.21), из которого следует, что Таким образом, в соответствии с результатом задачи 61.1 продольные волны связаны с поляризационными колебаниями электронов в среде и поэтому часто называются волнами поляризации или волнами Бора, который впервые использовал их для расчета потерь энергии заряженной частицы, движущейся в среде.

(см. скан)

В реальных физических задачах часто приходится исследовать распространение в среде не только плоских электромагнитных волн, но и волновых пакетов. Волновой пакет в диспергирующей среде можно построить по аналогии с (39.11) и (39.13). Ограничившись поперечными волнами, имеем:

где решение дисперсионного уравнения (61.24).

Рассмотрим достаточно узкие волновые пакеты, т. е. примем, что функция имеет резко выраженный максимум в некоторой точке Для описания поведения такого волнового пакета удобно ввести понятие о его центре, который можно

считать совпадающим с радиусом-вектором

где усреднение производится по периоду

(см. скан)

Таким образом, практически для любого времени вычислять групповую скорость по формуле (61.36) можно только в прозрачной области, в которой В этом случае, дифференцируя по к соотношение (61.24), находим

или

Отсюда видно, что в области нормальной дисперсии, когда групповая скорость не превосходит фазовую, т. е. Однако в области аномальной дисперсии, когда будет а так как при этом возможны значения то групповая скорость может превосходить скорость света. Между тем, как видно, например, из рис. 61.2, область аномальной дисперсии совпадает с областью поглощения, в которой пользоваться формулой (61.36) нельзя и выводы из нее неправомочны.

(см. скан)

Помимо фазовой и групповой скоростей часто употребляются еще понятия скорости сигнала и скорости фронта сигнала. Под сигналом обычно понимается волновой пакет с резко ограниченными краями. Его передняя кромка называется фронтом. Можно показать, что скорость фронта сигнала в любой среде равна скорости света в вакууме [теорема Т. Леви-Чивиты (1913)]. Причину этого нетрудно понять, если заметить, что в области фронта поле испытывает резкие изменения, а это, в свою очередь, связано с присутствием в фурье-разложении поля бесконечно больших частот. Но, согласно (61.21), поэтому среда ведет себя по отношению к таким изменениям поля как вакуум. Очевидно, что это связано с инертностью заряженных частиц.

Рис. 61.3

Структура фронта сигнала в диспергирующей среде была подробно изучена А. Зоммерфельдом и Л. Бриллюэном в 1914 г. Они обнаружили, что в среде с поглощением в промежутке между фронтом и основной группой можно выделить две области с заметно повышенной интенсивностью поля. Бриллюэн назвал их первым и вторым предвестниками. Как и следовало ожидать, скорости их не превышают с, а скорость основной группы, или скорость сигнала, отличается от групповой скорости вычисленной по формуле (61.36), только в области поглощения. Зависимость скорости сигнала от частоты схематически изображена на рис. 61.3 (на примере однорезонансной модели).

Интересное явление, связанное с влиянием вещества на электромагнитное поле, было обнаружено в 1934 г. советскими физиками П. А. Черенковым и С. И. Вавиловым. Они наблюдали узкий конус излучения, испускаемого быстрыми электронами в среде при условии, что их скорость превышала фазовую скорость света, т. е. при

если рассматривать область прозрачности, где

Угол , образуемый волновым вектором к и скоростью электрона, определяется соотношением

из которого следует и условие (61.38). Излучение имело сплошной спектр, было поляризованным в плоскости к, у и более длинноволновым ближе к оси конуса. Последнее вытекает из (61.39), так как в области нормальной дисперсии

Теория излучения Вавилова — Черенкова была создана в 1937 г. советскими физиками Я. Е. Таммом и И. М. Франком, хотя само явление предсказано и описано (правда, без учета дисперсии) еще в 1888 г. английским физиком О. Хевисайдом, впервые получившим формулу (61.39). Излучение оказалось ничем иным, как электромагнитной ударной волной, аналогом известного в акустике конуса Маха, сопровождающего всякий сверхзвуковой объект. Возникает ударный фронт в согласии с принципом Гюйгенса: волны возбуждения от движущегося электрона

Рис. 61.4

распространяются в среде со скоростью и интерферируют, образуя конический фронт. В соответствии с этим на рис. откуда [см. (61.39)]. Интересно, что гипотетический случай заряда, движущегося со сверхсветовой скоростью в вакууме, был рассмотрен в 1904 г. немецким физиком А. Зоммерфелъдом (см. задачу 46.3), рассчитавшим силу торможения, испытываемую таким зарядом вследствие излучения.

Для количественного описания излучения Вавилова — Черенкова рассмотрим точечный заряд движущийся с постоянной скоростью в однородной изотропной среде с Принимая условие Лоренца в форме с приводим уравнения для потенциалов к виду

(см. скан)

Зная функцию Грина, запишем скалярный потенциал в виде

тогда как Подставляя (61.41) в (61.42) и замечая, что

приводим (61.42) к виду

Интегрирование по в (61.43) легко выполняется в полярных координатах если вспомнить определение функции Бесселя:

и учесть преобразование Фурье — Бесселя для функции Макдональда:

Тогда для потенциалов имеем представление

где а знак выбирается из условия В частности, в области (61.38) имеем так как, согласно (61.14), При этом на больших расстояниях от заряда, когда имеем

Из структуры фазы поля (61.45) в области (61.38) выводим

т. е. вновь получаем выражение (61.39) для угла наклона фронта волны.

В заключение подсчитаем потери энергии зарядом в среде при прохождении 1 см пути, т. е. На практике обычно вычисляют потери энергии на излучение и на поляризацию среды вне некоторого цилиндра радиуса осью которого служит траектория заряда. Эта величина равна потоку вектора Пойнтинга сквозь боковую поверхность цилиндра:

(см. скан)

Если нас интересуют потери энергии только на излучение Вавилова — Черенкова, то достаточно положить в поскольку потери на поляризацию среды [при этом берется область, дополнительная к (61.38)] экспоненциально затухают, как это видно из (61.45). В результате нетрудно получить известную формулу Тамма — Франка (1937):