обозначений 
В связи с представлением 
оператор Гамильтона V часто называется оператором объемного дифференцирования.
(см. скан)
В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем пользоваться декартовыми координатами, в которых оператор V выглядит особенно просто:
Если объект действия опеоутопу 
зафиксирова, то в соответствии с 
с ним можно обращаться, как с обычным вектором. В то же время [см. 
он является оператором дифференцирования. В частности, в соответствии с правилом 
имеем
или, помечая объект действия оператора V жирной точкой 
внизу, условимся писать
Вычислим, к примеру, 
С каждым слагаемым, помеченным точкой 
можно работать уже по правилам векторной алгебры, т. е.
В результате находим
Аналогично можно доказать и многие другие полезные тождества:
где в последних двух тождествах использовано обозначение 
для оператора дифференцирования вдоль вектора а.
Из представления 
выведем некоторые полезные интегральные теоремы. Выберем некоторый объем К окруженный поверхностью 
и разобьем его на достаточно большое число 
ячеек. Пусть 
ячейка имеет объем 
окруженный поверхностью 
Тогда, по теореме Лагранжа, внутри 
-найдутся такие точки 
что будут справедливы соотношения
Произведем теперь суммирование по всем ячейкам и положим 
Тогда в пределе левые части перейдут в интегралы по объему К, а правые части — в
где 
суть заданные функции, наиболее общими решениями являются соответственно:
при произвольных 
Найти условия на векторы 
при которых эти решения существуют.
Изучим теперь важнейший для приложений оператор Лапласа 
Его особенность состоит в том, что он является инвариантным (скалярным) оператором как в применении к скалярной, так и к векторной функции. В применении к скаляру 
он определяется так:
Используя определения 
и 
в произвольных координатах, имеем
С другой стороны, 
откуда
где 
контравариантные компоненты метрического тензора, определяемые условием 
Итак,
(см. скан)
В приложениях часто приходится иметь дело с гармоническими функциями. Функция 
называется гармонической в области V, если внутри нее она удовлетворяет уравнению Лапласа 
Важным свойством гармонической в области V функции является то, что она принимает свои наименьшее и наибольшее значения на границе области V {принцип максимума).
могут быть представлены в следующем виде:
-бесконечно малый объем, содержащий точку 
в которой вычисляются 
-замкнутая поверхность, окружающая 
ее элемент; 
единичный вектор внешней нормали к 
означает, что поверхность 
стягивается к точке 
Формулы 
проясняют смысл
поскольку интегрирование по внутренним поверхностям 
производится дважды с противоположными значениями нормали 
В результате получим следующие интегральные соотношения, являющиеся различными вариантами общей теоремы Остроградского:
известно как теорема Гаусса — Остроградского.
вместо 
компоненту тензора 
Тогда
дает
вектор с компонентами 
положить 
то получается широко используемая формула интегрирования по частям:
можно считать произвольными тензорами.
