§ 32. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

Рассмотрим ограниченную систему токов, погруженную в магнетик с проницаемостью Выделим некоторую область с границей включающую систему токов. Тогда [см. (14.7)] энергия магнитного поля, содержащаяся в равна

Полагая и применяя теорему Гаусса — Остроградского, с учетом тождества находим

Для ограниченной системы токов, согласно (29.9), асимптотическое поведение вектор-потенциала А при имеет вид

где полный магнитный момент системы. Отсюда нетрудно получить следующую оценку для поверхностного интеграла в (32.2), приняв, что поверхность представляет собой сферу

как угодно большого радиуса

Таким образом, при поверхностный интеграл в (32.2) исчезает и выражение для энергии магнитного поля с учетом уравнения принимает вид

где - область, занятая токами проводимости.

Замечая, что поле В создается как токами проводимости, так и токами намагничения, можно записать следующее уравнение для векторного потенциала А:

Решение его [см. (28.8)] имеет вид

Подставляя (32.5) в (32.4), получаем выражение для энергии магнитного поля постоянных токов:

где V — область, занятая токами проводимости и намагничения.

Для однородного магнетика с постоянной проницаемостью вместо (32.5), очевидно, имеем

и поэтому (32.6) упрощается:

Интересно отметить далеко идущую аналогию между магнито- и электростатикой, которая, в частности, проявляется в сходстве

формул (32.6) и (23.5), а также (32.8) и (23.6). В обоих случаях энергия взаимодействия элементарных токов или зарядов изменяется с расстоянием по закону

Обычно токи текут по проводникам, занимающим некоторые области В то же время из условия стационарности токов вытекает, что линии тока являются замкнутыми. Выделяя области отвечающие полным токам можно положить и переписать (32.8) в виде

где введены коэффициенты

называемые взаимной индуктивностью при и индуктивностью при Для квазилинейных проводников подстановкой каждый объемный интеграл в (32.10) сводится к линейному:

Однако такое упрощение допустимо только при вычислении взаимной индуктивности непересекающихся квазилинейных проводников, когда В противном случае необходимо пользоваться общим выражением (32.10).

(см. скан)

Для квазилинейных проводников смысл коэффициентов становится особенно понятным. В самом деле, в этом случае, вводя магнитный поток через контур проводника, находим

Сравнение с формулой (32.9) показывает, что

где магнитный поток, создаваемый током и пронизывающий контур Таким образом, для

квазилинейных проводников коэффициенты можно определять либо из энергии [см. (32.9)], либо из магнитного потока [см. (32.14)].

(см. скан)

Посмотрим теперь, как изменится выражение для энергии магнитного поля в присутствии сверхпроводников. Если сверхпроводящая область V односвязна, то внутри нее [см. (31.8)] и поэтому ее вклад в энергию равен

на основании (29.6). Это означает, что одйосвязный сверхпроводник не может быть самостоятельным источником магнитного поля в полном соответствии с задачей 31.5.

Допустим теперь, что сверхпроводящая область V многосвязна. Ясно, что, проведя достаточное число разрезов область V всегда можно сделать односвязной. В этом случае, полагая [см. (31.6)] имеем

где скачок на разрезе -сила тока через разрез Сравнение (32.15) с (32.13) показывает, что в квазилинейном случае скачок соответствует магнитному потоку

Задача 32.3. Вычислить индуктивность тонкого сверхпроводящего кольца радиуса а. Радиус сечения провода

Задача 32.4. Тонкое сверхпроводящее кольцо находится в магнитном поле с напряженностью перпендикулярной его плоскости. Найти зависимость силы тока I в кольце от напряженности меняющейся от нуля до критического значения и затем вновь спадающей до нуля.

Найдем еще выражение для энергии магнитного поля в присутствии постоянных магнитов. В этом случае уже нельзя полагать поскольку Рассматривая идеализированное приближение (30.14), для изменения плотности энергии магнитного поля, согласно (14.5), получим

Таким образом, можно считать, что в случае идеализированных постоянных магнитов

Рис. 32.1

и полная энергия магнитного поля равна

Первый интеграл в (32.17), как и (32.1), сводится к (32.4) и исчезает, если т. е. если поле создается лишь самим магнитом. Таким образом, полная энергия магнитного поля постоянных магнитов равна

Нетрудно видеть, что так как и антипараллельны.

Наконец, для ферромагнетиков, когда гистерезисные явления не позволяют ввести однозначную функцию нельзя определить энергию магнитного поля. В этом случае можно лишь вычислять ее изменения. Замечая, что

при изменении напряженности поля от до получим следующее изменение энергии:

При возвращении в ту же точку, т. е. при обходе гистерезисной петли (рис. 32.1), в ферромагнетика, согласно второму началу термодинамики, должно выделяться количество теплоты

Это происходит потому, что при перемагничивании домены поворачиваются, что сопровождается разрывом сцепления между ними, т. е. работой против сил «трения».

(см. скан)