§ 40. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

Изучим распространение электромагнитных волн в пространстве, заполненном двумя однородными средами, разделенными плоскостью и характеризующимися постоянными проницаемостями Скорость распространения плоских электромагнитных волн в каждой из сред, согласно (38.4), равна соответственно

В простейшем частном случае при наличии плоской границы раздела электромагнитное поле описывается тремя монохроматическими плоскими волнами: в области имеются падающая В (волновой вектор к) и отраженная (волновой вектор волны, а в области преломленная

волна В (волновой вектор к). Падающую волну будем считать линейно поляризованной, т. е. представимой в виде

При этом на границе с нормалью должны выполняться граничные условия (12.8), которые при отсутствии свободных поверхностных зарядов и токов проводимости имеют вид

Замечая, что в этих уравнениях векторы содержат фазовые множители типа мы приходим к выводу, что граничные условия могут быть выполнены только при совпадении всех фаз. Это означает, что для любого вектора лежащего в плоскости раздела, т. е. удовлетворяющего условию должны выполняться равенства

Из (40.5) следует, что векторы лежат в плоскости векторов Вводя углы падения а, отражения и преломления а, перепишем условие (40.5) в виде (рис. 40.1)

Замечая, что и вводя показатели преломления сред получаем известные законы геометрической оптики:

т. е. равенство углов падения и отражения и закон Снеллиуса.

Для разрешения уравнений (40.3), (40.4) удобно различать два возможных случая в зависимости от того, лежит ли вектор в плоскости падения или перпендикулярен ей.

В первом случае, когда вектор лежит в плоскости падения очевидно, и уравнения (40.3) и (40.4) с учетом (40.2) и закона Снеллиуса дают (рис. 40.2)

откуда после несложных преобразований находим:

При эти формулы упрощаются:

Рис. 40.1

Рис. 40.2

Во втором случае, когда вектор перпендикулярен плоскости падения т. е. граничные условия (рис. 40.3) приводят к соотношениям

откуда

При эти формулы упрощаются:

Очевидно, что падающая волна с произвольной поляризацией может быть представлена в виде суперпозиции линейно поляризованных волн, векторы поляризации которых либо лежат в плоскости падения, либо перпендикулярны ей. Таким образом, к рассмотренным выше двум случаям сводится любая задача о распространении электромагнитных волн при наличии плоской границы раздела двух сред.

При нормальном падении следует положить и в соответствии с законом Снеллиуса Тогда из формулы (40.7) получаем:

где Пользуясь выражением (39.6) для вектора Пойнтинга нетрудно подсчитать коэффициенты отражения и прохождения которые определяются

Рис. 40.3

соответственно как отношения интенсивностей отраженной или преломленной волн к интенсивности падающей волны. Таким образом,

В частности, для нормального падения, согласно (40.11), находим:

Нетрудно убедиться, что в соответствии с законом сохранения энергии

Рассмотрим теперь случай, когда и волна падает на границу под углом Брюстера определяемым условием

Очевидно, что

Иначе говоря, выполнено соотношение

Так как в этом случае то, как видно из (40.8), т. е. отсутствует отраженная волна, поляризованная в плоскости падения. Таким образом, если падающая под углом Брюстера волна имеет смешанную поляризацию, то отраженная волна будет поляризована перпендикулярно плоскости падения, удовлетворяя условию Указанным явлением можно воспользоваться для получения плоскополяризованных световых пучков.

Другое интересное явление наблюдается при падении волны из более плотной среды в менее плотную под углом

Тогда т.е. Это означает, что преломленная волна идет вдоль границы раздела двух сред. Отмеченное явление называется внутренним отражением. Исследуем поле в области более подробно. Если то

откуда

физически это означает, что в полученном решении, описывающем поле преломленной волны, волновой вектор является мнимым. Так, считая плоскостью падения убеждаемся, что поля содержат множитель вида

Решение со знаком плюс соответствует растущему на бесконечности полю, и поэтому оно должно быть отброшено как физически нереализуемое. Оставшееся решение (40.18) описывает электромагнитную волну с затухающей в направлении амплитудой. При этом волна распространяется вдоль границы раздела двух сред.

(см. скан)

В заключение отметим, что вся развитая выше теория отражения и преломления электромагнитных волн легко обобщается на случай комплексных проницаемостей (см. § 61). Как легко убедиться, в этом случае амплитуды электромагнитных волн содержат затухающие множители такого же типа, как при внутреннем отражении.

(см. скан)