§ 37. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ

Электрический ток в проводящей среде образуется движущимися электронами и ионами. Следуя определению плотности тока

и считая для простоты, что носителями тока являются положительно заряженные ионы с зарядом и отрицательно заряженные электроны (или ионы) с зарядом находим

Вводя среднюю скорость зарядов

где - средняя концентрация частиц, имеем

При не слишком большой напряженности средняя скорость ионов линейно зависит от приложенного поля (закон Ома), т. е.

где -подвижность ионов. Ее физический смысл проясняется, если рассмотреть стационарное движение зарядов в проводнике под действием поля и эффективной силы трения — Тогда из условия стационарности выводим:

т. е. подвижность (3 обратно пропорциональна коэффициенту трения у.

С учетом (37.3) находим

откуда получаем выражение для удельной проводимости:

Если носители тока ионизованы однократно, то и

или с учетом (37.4)

Итак, удельная проводимость среды определяется средними концентрациями ионов и их коэффициентами трения

В металлах и твердых проводниках с электронным механизмом проводимости и (37.6) сводится к

Учтем теперь, что чаще всего проводники электрически нейтральны. Они не имеют свободного избыточного заряда, так как в среднем концентрация свободных зарядов компенсируется зарядами кристаллической решетки: Если все же избыточный заряд и имеется, то он обычно очень мал (см. задачу 36.1), т. е. можно положить и считать

где Таким образом, практически электропроводимость а не зависит от В предыдущих параграфах мы использовали именно это предположение.

Согласно вышесказанному, для вычисления удельной проводимости а нужно знать коэффициент трения у. Одной из простейших моделей металлического проводника, позволяющей вычислить у, является электронная модель Друде. В этой модели ионы кристаллической решетки считаются неподвижными, характер же движения электронов предполагается следующим. В промежутке между двумя последовательными столкновениями с

ионами решетки электроны ускоряются действующим электрическим полем однако в процессе столкновения вся приобретенная ими энергия теряется. Пусть - средняя длина свободного пробега электрона, его тепловая скорость, среднее время свободного пробега. Тогда средняя направленная скорость свободного движения электрона

откуда находим среднюю плотность тока:

и удельную проводимость:

Полученная оценка а основывалась на предположении, что т. е. или Очевидно, что модель Друде оказывается несостоятельной в области низких температур и сильных электрических полей.

В заключение рассмотрим один интересный эффект, связанный с предположением справедливости закона Ома Если среда однородна и изотропна, т. е. обладает постоянными в и а, то из уравнений

нетрудно получить, что

Очевидное решение этого уравнения:

где распределение заряда в момент Из этого решения следует, что в проводящей среде всякое локальное скопление заряда рассасывается за характерное время — время релаксации, равное

Чем больше удельная проводимость среды, тем быстрее происходит рассасывание свободных зарядов, очевидной причиной которого является их кулоновское расталкивание.

(см. скан)