§ 73. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ

Преобразования Лоренца представляют собой действительные линейные преобразования координат сопоставляемых каждой точке четырехмерного пространственно-временного континуума:

При этом матрица преобразования называемая иногда матрицей Лоренца, для перехода к системе отсчета, движущейся вдоль оси имеет вид

где Обратное же преобразование осуществляется с помощью матрицы В дальнейшем

для упрощения записи мы будем принимать правило суммирования Эйнштейна с условием, что латинские индексы нумеруют пространственные координаты (компоненты) 1, 2, з, а греческие пространственно-временные 0, 1, 2, 3.

Закон преобразования (73.1) можно положить в основу четырехмерной классификации всех физических величин совершенно аналогично тому, как это было сделано в трехмерном случае (см. приложение). Начнем с определения четырехмерного вектора (сокращенно — 4-вектор). Именно: контравариантными компонентами 4-вектора а назовем совокупность четырех величин которые при преобразовании Лоренца изменяются так же, как координаты т. е. по закону

Контравариантными компонентами 4-тензора ранга назовем величины которые при преобразованиях Лоренца изменяются так же, как произведения соответствующих компонент 4-векторов:

Используем теперь важную особенность физического пространства-времени, открытую Минковским и состоящую в том, что геометрия пространственно-временного континуума является псевдоевклидовой. Согласно Минковскому, мерой расстояния между двумя близкими точками является элементарный интервал квадрат которого равен

Здесь мы ввели псевдоевклидов четырехмерный метрический тензор определяемый диагональной матрицей

и, очевидно, совпадающий со своим обратным:

(см. скан)

С помощью метрического тензора можно ввести ковариантные компоненты 4-вектора а, полагая

т.е. Закон преобразования ковариантных компонент следует из инвариантности интервала относительно преобразований Лоренца. Вводя соответствующую матрицу преобразования

с учетом (73.7) имеем

Отсюда

т. е. ковариантные компоненты преобразуются с помощью обратной транспонированной матрицы Лоренца Из этого результата сразу же следует, что псевдоэвклидово скалярное произведение двух 4-векторов определенное как

является инвариантным при преобразованиях Лоренца.

В зависимости от знака своего квадрата -вектор а называется времениподобным просмрансмвенноподобным или изотропным

(см. скан)

По аналогии с (73.7) нетрудно определить ковариантные компоненты тензора ранга

а также его смешанные компоненты:

где Закон их преобразования очевиден:

Из структуры (73.6) метрического тензора вытекает, что при опускании или подъеме некоторого индекса компонента тензора не меняется, если и меняет знак, если

Тензор ранга называется либо симметричным, либо антисимметричным по некоторым индексам если при их перестановке его компоненты не меняются либо соответственно меняют знак, т. е.

(см. скан)

Имея два тензора рангов тип соответственно, можно образовать новый тензор ранга с компонентами

Эта операция называется внешним или тензорным умножением. Ее можно дополнить операцией свертки, когда некоторые верхние индексы полагаются равными соответствующим нижним индексам и по ним производится суммирование:

Очевидно, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на 2. В частности, свертка в тензоре второго ранга приводит к скалярной величине, называемой шпуром или следом этого тензора:

Построенная нами четырехмерная классификация физических величин, т. е. представление их в виде компонент релятивистских тензоров различных рангов, не является, однако, полной, поскольку мы ограничились собственными преобразованиями Лоренца., представляющими собой лишь частный случай общих преобразований Лоренца. Последние обычно определяются как линейные преобразования вида (73.1), оставляющие инвариантной фундаментальную квадратичную форму (73.5). Очевидно, что общие преобразования Лоренца включают в себя помимо чистых преобразований Лоренца типа (73.2) еще трехмерные повороты, задаваемые ортогональными матрицами вида

а также отражения пространства и времени, для которых соответственно

(см. скан)

В связи с неравенством (73.14) общие преобразования Лоренца разделяются на два класса:

а) ортохронные сохраняющие направление времени;

б) антихронные —1), изменяющие направление времени на обратное.

В большинстве физических рассмотрений обычно ограничиваются ортохронными преобразованиями Лоренца, которые в свою очередь делятся на собственные преобразования Лоренца, отвечающие и несобственные преобразования Лоренца,

выделенные условием и включающие отражение пространства.

Так как дважды повторенное пространственное отражение эквивалентно тождественному преобразованию, т. е. то поведение любой физической величины при пространственном отражении допускает лишь две возможности: либо она ведет себя при этом как соответствующая компонента тензора, либо приобретает дополнительный знак минус, преобразуясь как компонента псевдотензора [см. (1П.9)]. При классификации физических величин относительно пространственных отражений полезную роль играет четырехмерный полностью антисимметричный псевдотензор Леви-Чивиты , меняющий знак при перестановке любых двух индексов и связанный с трехмерным символом Леви-Чивиты условием

(см. скан)

Если имеется некоторый несимметричный тензор не выше четвертого ранга, то его можно свернуть с Полученный гаким путем новый псевдотензор называется дуальным исходному, а сама операция — дуальным сопряжением. Так, скаляру вектору и антисимметричным тензорам срцу, можно сопоставить дуальные им псевдовеличины:

Важным примером дуального сопряжения является вычисление объема 4-параллелепипеда построенного на четырех линейно независимых векторах