§ 74. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Основные операции трехмерного векторного анализа легко распространяются и на четырехмерный случай. Так, четырехмерным аналогом оператора Гамильтона V является оператор дифференцирования 
-градиент)
который при преобразованиях Лоренца ведет себя как 4-вектор, в чем можно легко убедиться, рассмотрев дифференциал скалярной функции (см. задачу 67.1):
Очевидно, что величины являются ковариантными компонентами 4-вектора. Векторные свойства 4-градиента сохраняются и в том случае, когда он применяется к произвольному тензору. Объясняется это тем, что матрица преобразований А не зависит от координат:
Производя свертку в выражении получаем четырехмерный аналог дивергенции
В результате этой операции возникает новый тензор, ранг которого на единицу меньше. Так, в применении к вектору получается скаляр 
а в применении к тензору второго ранга — 4-вектор 
С помощью др оператор Даламбера можно представить в виде
Четырехмерным аналогом ротора некоторого 4-вектора А является антисимметричный тензор
Перейдем теперь к некоторым интегральным теоремам в четырехмерном случае. Прежде всего построим элементарный 4 - объем 
как объем 4-параллелепипеда с направляющими 4-векторами 
Отсюда очевидна инвариантность 4-объема относительно собственных преобразований Лоренца. Если выбрать направляющие векторы ортогональными, положив
то получим обычное выражение
(см. скан)
Соотношение (74.5) можно также переписать в виде
введя направленный элемент гиперповерхности
Так как все физические величины (заряд, масса, энергия, импульс и т. д.) получаются как интегралы по 
-объему от соответствующих плотностей, то чаще всего приходится иметь дело с просмранственноподобными гиперповерхностями, для которых псевдовектор 
является времениподобным, т. е. 
В таком случае можно ввести инвариантный элемент гиперповерхности (псевдоскаляр)
и записать 
в виде
где 
единичный времениподобный вектор нормали к гиперповерхности.
(см. скан)
Из представления (74.13) вытекает важная в приложениях четырехмерная теорема Гаусса — Остроградского:
где 
замкнутая гиперповерхность, окружающая 4-объем 
