§ 22. ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ

Рассмотрим систему заряженных проводников, помещенных в диэлектрическую среду с проницаемостью Внутри каждого проводника, обладающего конечной электропроводимостью справедлив закон Ома из которого следует, что в статическом случае, когда внутри проводника

Учитывая потенциальность электрического поля, т. е. полагая выводим, что внутри проводника и на его поверхности потенциал постоянен:

Кроме того, заряды в проводниках располагаются только на их поверхностях, поскольку объемная плотность заряда, согласно (22.1), исчезает:

В то же время в диэлектрике в соответствии с (7.7) потенциал

Рис. 22.1

должен удовлетворять уравнению

и граничным условиям (12.8):

Но последнее условие вытекает из непрерывности потенциала на границе раздела В самом деле, если функция обращается в нуль на поверхности то уравнение последней есть, очевидно, Поэтому с учетом выражения для нормали условие удовлетворяется тождественно.

Рассмотрим теперь оставшееся условие (22.5) на границе проводника с диэлектриком (рис. 22.1). Поскольку в проводнике в диэлектрике вблизи границы с проводником выполняется равенство

позволяющее записать полный заряд проводника в виде

Итак, граничные условия, отбирающие нужные решения уравнения (22.4), имеют вид:

а) на поверхностях проводников несущих заданные заряды или поддерживаемых при заданных потенциалах

б) на граничных поверхностях между диэлектриками при отсутствии свободных поверхностных зарядов

При этом возможны две постановки основной задачи:

1) заданы потенциалы проводников найти их заряды и потенциал в диэлектрике;

2) заданы заряды проводников найти их потенциалы и потенциал в диэлектрике.

Докажем единственность решения этих задач. Будем исходить из противного, предположив, что имеется два разных решения

и Тогда их разность согласно (22.4), удовлетворяет соотношению

Интегрируя (22.10) по объему К диэлектрика, ограниченному поверхностями проводников, находим с помощью теоремы Гаусса — Остроградского

Замечая, что для первой постановки задачи на поверхностях будет а для второй постановки но в то же время убеждаемся, что правая часть в (22.11) исчезает. Ввиду положительности 8 это возможно только при условии, что т. е. напряженность поля определяется однозначно, а потенциалы с точностью до общей постоянной.

(см. скан)