ГЛАВА 7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

В этой главе мы дадим ковариантную формулировку уравнений Максвелла и изучим движение точечной заряженной частицы в электромагнитном поле. Последовательно распространяя принцип относительности на те или иные физические явления, т. е. придавая соответствующим уравнениям ковариантный вид, можно убедиться, что различные физические величины, которые в трехмерной формулировке теории выступали как независимые, теперь оказываются объединенными в самостоятельные структуры (четырехмерные тензоры), поскольку при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую они взаимно преобразуются. Наглядная геометрическая интерпретация теории относительности, предложенная Минковским, оказалась чрезвычайно плодотворной при построении релятивистской формы уравнений динамики материальных частиц, в том числе с учетом силы реакции излучения.

§ 78. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ

Ковариантность какого-либо закона природы по отношению к преобразованиям Лоренца, очевидно, соблюдается, если этот закон удается представить в виде системы четырехмерных тензорных уравнений. Попробуем представить в явно ковариантной форме уравнения Максвелла в вакууме:

Но сначала обратим внимание на то, что из уравнений (78.1) вытекает уравнение непрерывности

выражающее закон сохранения электрического заряда. Этот закон универсален, т. е. выполняется в любой инерциальной системе отсчета, и поэтому уравнение (78.2) должно быть лоренц-ковариантным. Это возможно лишь в случае, когда его левая часть является релятивистским скаляром. Такое представление

Рис. 78.1

левой части (78.2) оказывается действительно возможным, если ввести 4-вектор плотности тока с компонентами

Тогда уравнение (78.2) принимает вид

т. е. его левая часть является четырехмерной дивергенцией.

Закон сохранения электрического заряда можно записать и в интегральной форме, если проинтегрировать (78.4) по некоторому 4-объему окруженному замкнутой гиперповерхностью а, и использовать четырехмерную теорему Гаусса — Остроградского (74.14):

Предположим теперь, что заряды и токи, как это обычно имеет место, сосредоточены в некоторой ограниченной области пространства. Тогда в качестве четырехмерной области можно взять 4-объем, заключенный между двумя просгранственноподобными гиперповерхностями (рис. 78.1). Поскольку вклад бесконечно удаленных областей в интеграл (78.5) будет исчезающим, равенство (78.5) примет вид

Оно означает, что инвариантным интеграл

оказывается не зависящим от выбора пространственноподобной гиперповерхности а. Поэтому в качестве последней можно, например, выбрать гиперповерхность для которой вектор нормали имеет компоненты ), поэтому . Тогда равенство (78.7) принимает вид

(интегральный закон сохранения электрического заряда).

Из структуры 4-вектора плотности тока нетрудно вывести закон преобразования плотностей заряда и тока при преобразованиях Лоренца (67.18):

Рис. 78.2

В частности, если в системе отсчета заряды были неподвижны и распределены с некоторой плотностью то и поэтому в системе относительно которой заряды движутся со скоростью V вдоль оси X, согласно (78.9), имеем

Таким образом, появляется конвекционный ток с плотностью и вследствие лоренцева сокращения масштабов в направлении движения происходит увеличение плотности заряда.

В другом частном случае, когда в системе отсчета имелась лишь плотность тока а плотность заряда была равна нулю, т.е. в системе найдем:

Если увеличение плотности тока можно объяснить тем же лоренцевым сокращением масштабов, приводящим к уплотнению движущихся зарядов, то появление некоторой плотности заряда представляется на первый взгляд парадоксальным и противоречащим закону сохранения заряда. Однако на самом деле никакого противоречия здесь нет. Действительно, если в системе то из уравнения непрерывности (78.2) следует, что т. е. токи должны быть замкнутыми (рис. 78.2). Поэтому, если проводник с током привести в поступательное движение со скоростью у, то согласно (78.11) на участках с противоположными токами возникнут и противоположные плотности заряда. При этом результирующий заряд в проводе, очевидно, равен нулю, что следует уже из инвариантности заряда:

(см. скан)