§ 23. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Получим выражение для энергии электростатического поля, создаваемого произвольной ограниченной системой зарядов, находящихся в диэлектрической среде. Выделим произвольную, но достаточно большую область включающую систему зарядов и ограниченную некоторой замкнутой поверхностью Тогда энергия электростатического поля, содержащаяся в согласно (14.7), равна

Полагая и интегрируя в (23.1) по частям, находим

Будем теперь считать поверхность сферой бесконечно большого радиуса Тогда при потенциал убывает как где — диэлектрическая проницаемость среды на бесконечности, полный свободный заряд системы, равный по теореме Гаусса

Все это позволяет получить следующую оценку для поверхностного интеграла в (23.2):

Таким образом, при упрощается и с учетом (7.7) принимает вид

где - область, занятая свободными зарядами.

Учтем теперь, что потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона и поэтому может быть записан в форме

где V — область, занятая свободными и связанными зарядами. Подставляя (23.4) в (23.3), получаем выражение для энергии электростатического поля в среде:

В частном случае системы зарядов в вакууме из (23.5) получается обычно используемое симметричное выражение

Если заряды считать точечными, то (23.6) будет содержать расходящиеся интегралы, отвечающие собственным энергиям отдельных зарядов. В самом деле, если заряд равномерно распределен по поверхности шарика радиуса а, то энергия электростатического поля, очевидно, равна

и при оказывается бесконечной. Поэтому при рассмотрении системы точечных зарядов из (23.6) обычно исключают бесконечную собственную энергию, оставляя лишь энергию взаимодействия разных зарядов. Нетрудно видеть, что энергия поля в результате такой операции принимает вид

где -потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме в точке нахождения последнего.

(см. скан)

Изучим теперь более подробно вклад среды в электростатическую энергию. Используя связь его можно записать в виде

Чтобы выяснить физический смысл этой величины, воспользуемся представлением поляризованности в форме (7.5):

где эффективное расстояние между зарядами молекуле-диполе. Рассматривая молекулы как квазиупруго связанные заряды и вводя эффективный коэффициент упругости к, условие равновесия упругих и электрических сил можно записать в виде откуда вытекает следующее представление для энергии (23.9):

Таким образом, энергию электростатического поля, запасенную в диэлектрике, можно интерпретировать как потенциальную энергию растянутых упругих молекул.

Однако даже без привлечения каких-либо модельных представлений о молекулах-диполях, в предположении лишь линейности связи можно показать, что (23.9) представляет

собой работу, которую необходимо затратить, чтобы создать в среде поляризацию В самом деле, используя (23.10) и считая, что напряженность поля мало изменяется в пределах ячейки элементарную работу электрического поля над связанными зарядами среды можно записать в виде

откуда в предположении линейной зависимости и вытекает (23.9). Таким образом, можно с уверенностью сказать, что выражение (23.9) представляет собой энергию, запасенную в диэлектрике при создании в нем электрического поля

(см. скан)

Энергия электростатического поля данной системы, очевидно, зависит от ее геометрических свойств, т. е. от некоторых обобщенных координат Поэтому знание функции позволяет вычислить обобщенные силы действующие между элементами системы. Действительно, по принципу возможных перемещений,

откуда

(см. скан)