§ 67. ВЫВОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА—ЭЙНШТЕЙНА

При выводе преобразований Лоренца будем считать принятыми следующие положения:

1) однородность пространства и времени, означающая, что вид преобразований не должен зависеть от выбора начала отсчета пространственных координат или времени;

2) изотропность пространства, т. е. равноправие всех пространственных направлений;

3) принцип относительности, т. е. полное равноправие всех инерциальных систем отсчета;

4) постулат постоянства скорости света, т. е. одинаковость скорости света во всех инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета с которыми свяжем декартовы системы координат. Систему отсчета X условно назовем неподвижной, а систему X (также условно) - движущейся в системе X со скоростью у. Если рассматривать пространственно-временное описание некоторого материального процесса в системах то эти описания должны быть эквивалентными, т. е. связанными между собой. Иначе говоря, в различных системах отсчета лишь по-разному изображается один и тот же пространственно-временной континуум, свойства которого являются отражением свойств материи. Поэтому должны существовать формулы преобразования от одной системы отсчета к другой, которые мы сначала запишем в самом общем виде:

где и - некоторые неизвестные функции. Для определения их конкретного вида воспользуемся сформулированными выше четырьмя требованиями.

1. Если рассмотреть два различных события то разности могут зависеть только от как того требует принцип однородности пространства-времени. Таким образом,

где — некоторые новые функции. Принимая, что в момент начала отсчета в системах совпадают, имеем Поэтому, полагая в находим:

Тогда уравнения (67.2) преобразуются к виду

из которого следует, что функция линейны по

2. Будем теперь считать оси координат в системах и параллельными и совпадающими в момент времени Тогда вследствие изотропности пространства единственным выделенным направлением будет направление скорости Иначе говоря, единственным вектором, от которого параметрически могут зависеть функции преобразования в (67.1), является вектор скорости Ориентируя ось X вдоль и учитывая линейность функций а также совпадение плоскостей заметим, что из параллельности осей координат в системах следует пропорциональность и соответственно При этом коэффициенты пропорциональности в одинаковы вследствие равноправия осей Наконец, может зависеть лишь от вследствие вьщеленности направления Учитывая все сказанное, запишем преобразование (67.1) в виде

где коэффициенты могут зависеть лишь от поскольку при изменении направления осей на обратное и одновременном обращении знака скорости преобразование (67.4) не должно меняться, как это следует из изотропности пространства.

Нетрудно понять, что эти рассуждения эквивалентны утверждению, что полярный вектор, а -скаляр, линейно зависящие от В самом деле, может быть только линейной комбинацией векторов комбинацией скаляров

где как скаляры, могут зависеть лишь от Далее, поскольку в системе система движется со скоростью то эквивалентно Но тогда из (67.5) следует, что и (67.5) принимает вид

что эквивалентно (67.4), если считать ось X параллельной

Рис. 67.1

3. Воспользуемся принципом относительности и рассмотрим обратный переход — от системы X к системе Вследствие равноправия систем отсчета этот переход описывается теми же формулами (67.4), но с заменой на (рис. 67.1):

Подставляя (67.4) в (67.7), находим:

Так как полученные соотношения должны выполняться тождественно, то функции оказываются связанными между собой:

Отсюда сразу находим, что Однако случай соответствует преобразованию мы же предполагали направления осей координат в одинаковыми. Поэтому остается единственный выбор

Далее, поскольку (иначе то

В результате преобразование (67.4) принимает вид

где

Итак, нам осталось определить только одну неизвестную функцию Для этого воспользуемся еще раз принципом относительности и рассмотрим новую инерциальную систему отсчета движущуюся относительно X вдоль оси X со скоростью По принципу относительности преобразование от системы X к системе также должно иметь вид (67.10) с некоторой новой скоростью и новыми значениями

Однако то же самое преобразование можно получить, совершив сначала переход от к а затем от к При этом

Сравнив (67.11) и (67.12) и, в частности, коэффициенты при х в выражении для и коэффициенты при в выражении для найдем

Отсюда следует, что

т. е. не зависит от Таким образом, согласно (67.9) и (67.13), у есть функция и фундаментальной постоянной

Однако решение, отвечающее отрицательным 7, следует отбросить, так как при должно получаться тождественное преобразование, т. е. Окончательно

4. Для определения постоянной воспользуемся постулатом постоянства скорости света. Рассмотрим плоскую световую волну, распространяющуюся вдоль оси Уравнение волнового фронта этой волны в системе отсчета имеет вид

Однако в системе согласно постулату о постоянстве скорости света, уравнение волнового фронта должно выглядеть точно так же:

Преобразуя левую часть (67.16) с помощью (67.10) и учитывая (67.15), находим

Так как и , то

В итоге преобразования Лоренца, выведенные на основании постулатов Эйнштейна, принимают вид

Обратные преобразования получаются заменой на :

С помощью (67.6) нетрудно получить преобразования Лоренца и в общем случае, когда скорость имеет произвольное направление. Тогда в векторной записи имеем

где

Итак, нами получены преобразования координат и времени, осуществляющие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. В этих преобразованиях в концентрированной форме и содержатся новые представления о пространстве и времени, вытекающие из принципа относительности, распространенного на все физические явления, включая электродинамические.

(см. скан)