§ 47. СИЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

Рассмотрим заряженную частицу с энергией и импульсом взаимодействующую с электромагнитным полем, занимающим некоторую область К, граничную поверхность которой мы впоследствии расширим до бесконечности. Запишем, основываясь

на теореме Пойнтинга, закон сохранения энергии для данной системы:

где - энергия электромагнитного поля в области мощность излучения. Для оценки воспользуемся дипольным приближением, допустив, что вклад высших мультипольных моментов ничтожно мал. Наконец, будем считать скорость заряда малой по сравнению со скоростью света «с с). В таком случае [см. (43.9)], приняв, что поверхность -сфера бесконечно большого радиуса в центре которой расположен заряд имеем

С другой стороны, при согласно (46.10), что позволяет перейти в (47.1) от времени наблюдения к времени испускания излучения

Наконец, используя результат задачи 43.1, запишем еще и закон сохранения импульса для системы:

где импульс электромагнитного поля в области Из соотношений (47.3) и (47.4) вытекает, что всякий излучающий заряд должен испытывать дополнительную силу со стороны испускаемого им электромагнитного поля. Согласно (47.4), эта сила, обычно называемая силой реакции излучения, равна

где импульс электромагнитного поля, порожденного зарядом.

Замечая, что, по теореме живых сил, из (47.5) и (47.3) выводим

Так как левая часть (47.6) имеет вид полной производной, то наиболее общее решение этого уравнения относительно есть

где К — произвольный вектор, произвольная скалярная функция точки. Но, согласно имеет вид полной производной. В связи с этим в (47.7) следует положить и оставить член определяемый состоянием движения самого заряда и описывающий силу реакции излучения

Если заряженная частица имеет массу и движется в поле внешних сил то с учетом силы реакции излучения (47.8) уравнение ее движения можно записать в виде

Чтобы проиллюстрировать, к каким изменениям в характере движения частицы приводит учет силы реакции излучения, рассмотрим случай однородной внешней силы Вводя обозначения перепишем уравнение движения (47.9) в виде

Для решения этого уравнения найдем сначала функцию Грина задачи где Последняя удовлетворяет уравнению

Замечая, что задана с точностью до постоянной и при удовлетворяет однородному уравнению с решением

будем искать функцию Грина в виде

Подставляя (47.12) в (47.11), находим т.е.

где - произвольная постоянная, выбор которой приводит к важным физическим последствиям. В частности, если ограничиться запаздывающим решением, исчезающим при то

Физически представляет собой скорость покоившейся при частицы, на которую действует импульсная сила Однако при т.е. частица начинает самоускоряться в направлении, противоположном действию силы. Такое решение, очевидно, не поддается физической интерпретации. Поэтому выберем функцию Грина из условия ее ограниченности при В таком случае необходимо выбрать т.е.

Решение уравнения движения (47.10), отвечающее такому выбору функции Грина, имеет вид

где если считать, что достаточно быстро убывает при — [в большинстве физических задач при Подставляя (47.15) в (47.16), находим

Если первые слагаемые в (47.17) имеют обычный ньютоновский вид, то последнее слагаемое несколько необычно. Нетрудно видеть, что оно соответствует учету опережающих воздействий, появление которых связано с высшими производными в уравнении движения. Если бы при оценке мощности излучения мы учитывали высшие мультипольные моменты (магнитный дипольный, электрический квадрупольный и т. д.), то эффект опережения был бы еще более сильным.

Появление опережающего воздействия можно было бы понять, если бы частица была протяженной. Так, например, заряженный шарик радиуса а испытывает воздействие электрического поля в тот момент, когда его центр находится на расстоянии а от точки В данном же случае время опережения по порядку величины равно к, а эффективный размер Таким образом, излучающий точечный заряд ведет себя как протяженная частица, эффективная структура которой обусловлена полем излучения. Например, электрону, масса которого соответствует эффективный размер, получивший название классического радиуса электрона и равный

(см. скан)