§ 26. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Изучим два популярных метода решения задач электростатики, основанные на использовании некоторых свойств симметрии исходных уравнений и граничных условий.

Метод отражений применяется в тех случаях, когда границы раздела сред плоские. Проще всего понять этот метод, рассмотрев случай проводящего полупространства. Пусть плоскость разделяет проводник и диэлектрик с проницаемостью в, в котором задано распределение свободных зарядов Для нахождения потенциала в диэлектрике необходимо решить уравнение (22.4) с граничным условием Предварительно произведем симметричное продолжение функции в на область т. е. положим

Допустим, что известно некоторое решение уравнения

во всем пространстве (обратим внимание на то, что при Рассмотрим функцию Используя свойство инвариантности оператора относительно отражения нетрудно убедиться, что удовлетворяет однородному уравнению

в области Очевидно, что потенциал, созданный отраженными источниками с плотностью Таким образом, решением исходной задачи является функция

Физический смысл решения (26.4) ясен из самого способа его построения: потенциалы создаются соответственно распределением заряда при отсутствии проводящей среды и поверхностными зарядами, сосредоточенными на границе раздела

В качестве наглядного примера, иллюстрирующего метод отражений, рассмотрим следующую задачу. Пусть плоскость разделяет два диэлектрика с проницаемостями В точке в области расположен точечный заряд Используя метод отражений, потенциал поля будем искать в виде (рис. 26.1)

Рис. 26.1

Иначе говоря, кроме истинного заряда мы взяли еще два фиктивных заряда помещенных в симметричные точки. С помощью этих фиктивных зарядов как раз и описывается поле поверхностных зарядов, сосредоточенных на границе раздела Подставляя (26.5) в граничные условия (22.9), получаем систему уравнений для определения неизвестных постоянных

Решение этой системы имеет вид

С его помощью можно вычислить поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела (рис. 26.1):

Подсчитаем силу взаимодействия внесенного заряда с этими связанными зарядами. Энергия взаимодействия равна

откуда находим силу взаимодействия («силу изображения»):

Метод инверсии основан на применении теоремы Кельвина (см. задачу 16.4). Суть его состоит в следующем. Допустим, что мы знаем решение уравнения Пуассона в некоторой области Совершим теперь преобразование инверсии радиуса а с центром в некоторой точке

где При этом преобразовании область V перейдет в некоторую другую область а уравнение Пуассона, согласно теореме Кельвина, примет вид

что эквивалентно введению в области V нового распределения зарядов с плотностью

Рис. 26.2

Таким образом, преобразование инверсии связывает между собой решения двух разных задач электростатики.

Используем метод инверсии для решения следующей задачи. Пусть имеется заземленная проводящая сфера радиуса а и вне ее задано некоторое распределение зарядов Введем обозначения для областей пространства вне и внутри сферы (рис. 26.2). Согласно (17.6), будем искать решение уравнения Пуассона

в области удовлетворяющее граничному условию на поверхности сферы, в виде

где некоторое решение уравнения Лапласа.

Для нахождения поместим в области инвертированные заряды, плотность которых, согласно (26.12), равна

и рассмотрим создаваемый ими потенциал

Чтобы убедиться в выполнении граничного условия, вычислим потенциал на поверхности сферы в некоторой точке А (рис. 26.2). Для удобства введем обозначения и воспользуемся тем, что условие инверсии эквивалентно подобию из которого следует, что

Этот факт не удивителен и является выражением известного свойства окружности быть геометрическим местом точек, для которых отношение расстояний до двух заданных точек постоянно (окружность Аполлония). Используя (26.17), а также закон преобразования при инверсии элемента объема

для точек на поверхности сферы имеем

что эквивалентно выполнению граничного условия Таким образом, решение задачи имеет вид

(см. скан)