§ 11. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
В макроскопической физике и в инженерной электро- и радиотехнической практике токи создаются в проводниках под действием поля 
и сторонних э. д. с., характеризуемых некоторой напряженностью 
Сторонними называются силы, отличные от сил, действующих на заряды в электромагнитном поле, но способные перемещать заряды и создавать токи. Сторонние силы могут быть химического, диффузионного, механического и другого происхождения. Возникают они при наличии градиента плотности, температуры и вследствие других факторов. Сторонние силы действуют, например, в гальванических элементах, аккумуляторах, термопарах и т. п.
В широком классе проводников сила тока 
пропорциональна напряжению 
т. е. справедлив линейный закон Ома (1.18). Однако при наличии сторонних э. д. с. этот закон должен быть обобщен и заменен законом Кирхгофа для участка цепи:
Рис. 11.1
где, по аналогии с (1.19),
При вычислении интегралов в (11.2) предполагается, что они мало меняются при изменении положений точек 7, 2, взятых где-то на поперечных сечениях проводника 
(рис. 11.1). Поэтому закон (11.1) справедлив только для квазилинейных проводников, для которых можно пренебречь поперечными размерами по сравнению с продольными, т. е. 
Тогда, выбрав бесконечно малый участок проводника 112, имеем
Так как 
то из (11.1) и (11.2) выводим, что
(дифференциальный закон Ома).
Здесь мы воспользовались определением электропроводимости а, согласно которому для цилиндрических проводников 
В случае анизотропных сред вместо а следует писать тензор электропроводимости а, т. е. полагать
Следует отметить, что, хотя закон Кирхгофа (11.1) верен лишь для стационарных токов, не зависящих от времени, соотношение (11.3) часто обобщают и на нестационарный случай.
Задача 11.1. (см. скан)
Добавляя (11.3) к уравнениям (10.1) и (10.3), получаем систему уравнений, позволяющую вычислять 
если заданы сторонние э. д. с. и распределение зарядов на отдельных элементах рассматриваемой системы проводников, диэлектриков и магнетиков. Следует, однако, вновь отметить, что линейный закон (11.3) и соотношения (10.3) справедливы лишь для узкого, хотя и весьма распространенного, класса проводников, диэлектриков и магнетиков. В более общем случае все эти «законы» не верны и должны быть заменены более сложными функциональными связями.
