§ 27. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Так как в проводниках объемная плотность электрического заряда равна нулю, то в электростатическом поле на них действует только поверхностная сила с некоторой поверхностной плотностью Очевидно, что сила, действующая на элемент поверхности может быть представлена в виде

где напряженность действующего поля, равная напряженности полного поля за вычетом вклада элемента Таким же методом, как в задаче 3.4, можно показать, что и поэтому

В то же время [см. (22.6) и (22.8)]

Все это позволяет представить поверхностную плотность сил, действующих на проводник, в виде

Таким образом, проводники в электростатическом поле испытывают растяжение, очевидной причиной которого является расталкивание поверхностных зарядов. Интересно, что численно это растяжение совпадает с плотностью электростатической энергии

Перейдем теперь к вычислению сил, действующих в электростатическом поле на диэлектрическую среду. Для этого воспользуемся выведенным ранее соотношением (23.13), согласно которому изменение энергии системы при малом изменении диэлектрической проницаемости среды равно

В общем случае диэлектрическая проницаемость в является сложной функцией плотности вещества температуры напряжений в среде и многих других параметров. Для простоты предположим, что 8 зависит лишь от плотности вещества и явно от точки т. е. В таком случае для вычисления сил, действующих на диэлектрик, можно воспользоваться принципом возможных перемещений и рассмотреть бесконечно малое смещение диэлектрика на вектор в некоторой малой области Тогда

где

Воспользуемся законом сохранения массы вещества при деформации согласно которому

Преобразуем элемент объема к старым переменным, введя якобиан преобразования т. е. полагая где

Подставляя (27.8) в (27.7), получаем

Таким образом, из (27.6) находим

Подставляя (27.10) в (27.5), находим изменение энергии

С другой стороны, (27.11) должно быть пропорционально, согласно принципу возможных перемещений, элементарной

работе внешних сил. Вводя плотность сил действующих на диэлектрик, имеем

Для того чтобы привести к виду (27.12), выполним во втором слагаемом (27.11) интегрирование по частям. Возникающий при этом поверхностный интеграл обращается в нуль, поскольку вне области V, по условию, Таким образом,

Сравнивая (27.13) и (27.12), находим выражение для плотности сил, действующих на диэлектрик в электростатическом поле:

(см. скан)

Для разреженных диэлектриков выражение для плотности силы (27.14) упрощается. В этом случае 8 можно считать линейной функцией положив [см. (58.25)]. В этом приближении и (27.14) принимает вид

Формулу (27.15) можно получить и в микроскопической теории. В самом деле, как следует из решения задачи 23.4, на диполь в электростатическом поле действует сила

Суммируя (27.16) по всем диполям из физического бесконечно малого объема и считая напряженность действующего поля совпадающей с напряженностью среднего поля в среде, что справедливо для разреженных диэлектриков с , находим

Нетрудно видеть, что (27.17) сводится к (27.15), если учесть, что и использовать тождество согласно которому

поскольку

Если в диэлектрике имеются свободные заряды, распределенные с плотностью то плотность сил, действующих на среду в электростатическом поле, равна

Иногда бывает удобно, поступая так же, как при решении задачи 13.1, представить (27.19) в виде

где тензор электрических натяжений, имеющий компоненты

Согласно (27.20), полная сила, действующая на диэлектрик в некоторой области V, равна

Используя теорему Гаусса — Остроградского в форме сведем объемный интеграл в (27.22) к интегралу по поверхности окружающей объем V: