§ 52. СКИН-ЭФФЕКТ

Рассматривая в § 36 задачу о поле прямого провода с постоянным током, мы обнаружили, что ток равномерно распределен по сечению провода. Но оказывается, что для переменного тока это уже не так. В самом деле, магнитный поток сквозь контур в продольном сечении провода (рис. 52.1) в случае переменного тока изменяется со временем, а это означает, что циркуляция напряженности электрического поля по этому контуру отлична от нуля. Отсюда следует, что напряженность поля изменяется в радиальном направлении, поэтому распределение плотности тока также оказывается неравномерным по сечению провода. Расчеты показывают, что практически ток протекает в тонком поверхностном слое провода, откуда и происходит название этого явления — скин-эффект.

Для высокопроводящих материалов толщина скин-слоя оказывается очень малой. Если она мала по сравнению с радиусом провода, то расчеты, выполненные для цилиндрического провода, незначительно отличаются от расчетов скин-эффекта в проводящем полупространстве. Рассмотрим поэтому именно эту задачу.

Рис. 52.1

Пусть однородная проводящая среда занимает полупространство обладает электропроводимостью а, проницаемостями и граничит с вакуумом (рис. 52.2). Запишем уравнения Максвелла в квазистационарном приближении внутри проводника:

Здесь так как рассматривается установившийся процесс и все внесенные свободные заряды [(см. (37.12)] должны рассосаться за время релаксации

Дифференцируя по уравнение (52.1а), находим

откуда

Аналогичное уравнение получается и для напряженности магнитного поля:

(см. скан)

На основании результата задачи 52.1 можно сделать вывод, что квазистационарное поле в области О может существовать долгое время только при условии, что на границе области поддерживается некоторое внешнее поле (в случае задачи о проводнике это соответствует заданию внешнего напряжения, приложенного к проводу). В частности, если на границе задано периодическое электрическое поле с напряженностью направленной по оси X, то решение задачи следует искать в виде

Тогда из выводим, что т. е. зависит только от Но так как нас интересует задача о распределении плотности тока в цилиндрическом проводнике, которую мы упростили, то зависимость от у можно не рассматривать, имея в виду лишь азимутально-симметричные

Рис. 52.2

решения. Поэтому полагаем и запишем (52.2) в виде

Решение уравнения (52.4) очевидно:

Отбрасывая нарастающее в глубь проводника поле как физически неосуществимое, выбираем решение с т. е.

Таким образом, напряженность электрического поля в проводнике изменяется по закону

Как видно, она экспоненциально затухает в глубь проводника. При этом роль эффективной глубины проникновения поля в проводник играет параметр 5, называемый толщиной скин-слоя и определяемый формулой (52.5). Числовые оценки, выполненные для меди при частоте 50 Гц, показывают, что 82 см. Поэтому в проводниках обычных сечений скин-эффект проявляется лишь при гораздо большей частоте.

Для нахождения напряженности магнитного поля в проводнике воспользуемся уравнением (52.1 в), из которого получим

Подставляя (52.6) в (52.7), находим:

Используем это решение для расчета сопротивления 1 см цилиндрического провода радиусом а. Если то очевидно, что результат будет такой же, как при постоянной силе тока, так как плотность тока почти постоянна по сечению провода. Если же то результат будет иным и получить его можно с помощью (52.6), положив

Прежде всего вычислим на основе (52.9) полную силу тока через сечение провода:

Теперь воспользуемся законом Джоуля — Ленца, согласно которому тепловые потери в 1 см провода определяются его сопротивлением и равны

Рис. 52.3

Замечая, что находим сопротивление 1 см провода:

Анализ этой формулы показывает, что фактически нужно учитывать лишь сопротивление самого скин-слоя (рис. 52.3), т. е. в обычной формуле для сопротивления вместо поперечного сечения нужно подставлять площадь кольца толщиной 8. Приближение такого рода, основанное на неравенстве а» 5, обычно называется приближением Рэлея.

(см. скан)

Однако опыт показал, что зависимость сопротивления провода от частоты типа как предписывает формула (52.12), сохраняется далеко не для всех частот, удовлетворяющих условию квазистационарности (49.8). Оказалось, что в области достаточно высоких частот, при которых глубина проникновения поля в проводник и длина свободного пробега электронов в металле сравнимы, т. е. или

наблюдается более быстрый рост сопротивления с частотой. Это явление, получившее название аномального скин-эффекта, объясняется тем, что при перестает быть справедливым локальный закон Ома В самом деле, если, например, воспользоваться электронной моделью Друде, то электрическое поле будет разгонять электроны не в течение времени их свободного пробега, как предполагалось в этой модели, а в течение времени их пребывания в скин-слое, причем напряженность поля существенно меняется на протяжении этого слоя. Таким образом, электроны будут находиться в области ускоряющего их поля гораздо меньшее время, что приведет к уменьшению силы тока или эквивалентному возрастанию сопротивления. Как можно показать, длина свободного пробега электронов растет с убыванием температуры быстрее, чем так что условие (52.13) выполнено и для обычных частот, но при низких температурах. Таким образом, условия для проявления аномального скин-эффекта выполняются как при высоких частотах и нормальных температурах, так и в области обычных частот, но низких температур.

Удовлетворительное объяснение аномального скин-эффекта было дано Рейтером и Зондхаймером в 1948 г. Они пришли к следующей нелокальной связи и обобщающей локальный закон Ома:

где Таким образом, согласно (52.14), плотность тока определяется напряженностью поля в некоторой окрестности точки с размерами порядка

(см. скан)