§ 85. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Если материальная точка обладает электрическим зарядом и находится во внешнем электромагнитном поле, то на нее действует сила Лоренца, которую необходимо записать в четырехмерной ковариантной форме, т. е. выразить 4-вектор силы через тензор F электромагнитного поля и 4 - скорость частицы.

Известно, что всегда можно однозначно восстановить 4-вектор силы по нерелятивистской силе Существует несколько методов такого восстановления. Самый наглядный среди них —

прямой метод. Он состоит в следующем. Допустим, что в некоторый момент времени частица имеет скорость и. Тогда можно рассмотреть ее движение в инерциальной системе отсчета движущейся именно с этой скоростью.

Ясно, что для моментов времени, бесконечно мало отличающихся от момента скорость частицы близка к и, т. е. движение ее в системе заведомо нерелятивистское. Поэтому уравнения движения в системе имеют известную нерелятивистскую форму:

где предполагается известным вид силы Теперь, чтобы найти 4-вектор силы достаточно лишь совершить переход к неподвижной системе отсчета.

(см. скан)

Восстановим 4-вектор силы Лоренца на основании принципа соответствия. Замечая, что нерелятивистская сила Лоренца

линейна по электромагнитному полю, попытаемся построить 4-вектор силы так, чтобы он был линеен по тензору электромагнитного поля. Так как из других тензоров, согласно (85.2), можно использовать лишь 4-вектор скорости частицы, то единственное приемлемое выражение для имеет вид

где постоянная а должна определяться из принципа соответствия.

В пределе медленных движений выражение (85.3) сводится к следующему:

и его сравнение с (85.2) показывает, что необходимо выбрать т. е.

Таким образом, уравнения Минковского, описывающие движение заряда в электромагнитном поле, принимают вид

Отделяя в (85.5) временную и пространственные компоненты, находим

или после подстановки и введения инертной массы

Временное уравнение в (85.7), очевидно, представляет собой релятивистскую теорему живых сил и получается из пространственных уравнений скалярным умножением на и.

(см. скан)

В заключение отметим, что в полученных релятивистских уравнениях движения заряда во внешнем электромагнитном поле не учитывается собственное поле заряда, т. е. сила реакции излучения считается пренебрежимо малой. Такое предположение оправдано только для движений в слабых электромагнитных полях, когда ускорения, испытываемые заряженной частицей, малы. В дальнейшем мы снимем это ограничение и получим релятивистское выражение для силы реакции излучения.