§ 57. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА—ЛОРЕНЦА И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Согласно вышеизложенным постулатам, уравнения Максвелла — Лоренца для микрополей имеют вид

При этом микроскопические плотности заряда и тока могут быть представлены в форме

где плотности заряда и тока для отдельной заряженной частицы номера Если частицы считать точечными, то

где радиус-вектор положения частицы, ее скорость, заряд. Но в таком случае не учитывается, например, тот важный факт, что заряженные частицы могут обладать собственными магнитными и электрическими дипольными моментами. Используя представления (2.12) и (2.13) для плотностей связанных зарядов и токов, учтем подобные структурные эффекты, добавив к следующие источники:

где — вспомогательные векторы, исчезающие вне частицы номера и в практических расчетах принимаемые -образными. Таким образом,

Так как заряженные частицы движутся по сложным, запутанным траекториям, то порождаемые ими микрополя имеют нерегулярную, случайную структуру. В то же время макроскопические поля подчиняющиеся уравнениям Максвелла (10.1), являются регулярными функциями, так как порождаются макроскопическими источниками рполн и получающимися усреднением соответствующих микроскопических источников

(57.2). Поэтому и макроскопические уравнения Максвелла должны получаться усреднением микроскопических уравнений Максвелла—Лоренца (57.1).

Под усреднением какой-либо микроскопической величины мы будем понимать усреднение по физическому бесконечно малому объему А К, определенному соотношением (2.1), и по физическому бесконечно малому интервалу времени определение которого мы сейчас дадим. Если усреднение по объему необходимо потому, что в макроскопической теории рассматриваются объекты, состоящие из большого числа частиц, то усреднение по времени вызвано тем, что микроскопические поля, даже усредненные по пространству, остаются хаотически изменяющимися во времени в связи с беспорядочным движением порождающих их частиц. Если средняя тепловая скорость движения частиц, а -среднее расстояние между ними, то характерное время изменения микроскопических величин имеет порядок С другой стороны, всегда можно ввести характерное время изменения макроскопических величин, в качестве которого обычно берут время релаксации системы (37.13) либо период колебаний в случае периодических процессов. В таком случае физический бесконечно малый интервал времени должен удовлетворять условию

Тогда усреднение некоторой микроскопической величины определяется следующим образом:

Отсюда видно, что операция усреднения линейна и обладает свойствами

Применяя операцию усреднения (57.4) к уравнениям Максвелла—Лоренца и используя (57.5), находим:

Сравнивая систему уравнений (57.6) с уравнениями Максвелла (10.1), убеждаемся, что для их согласования необходимо положить:

Выясним теперь более подробно, пользуясь представлением (57.2) для микроскопических источников, какова структура

Прежде всего, пользуясь свойством -функции, найдем вклад точечных источников в и

где символ означает, что суммирование проводится по всем зарядам, которые в момент времени оказались в объеме с центром в точке Отсюда видно, что выражения (57.8) отличаются от (2.2) и (2.5) только дополнительным усреднением по времени.

Оценим теперь вклад в (57.8) связанных зарядов, которые будем обозначать индексом а. Пусть некоторая молекула номера к имеет объем Чтобы найти ее вклад в заметим (на основе неравенства что для всякого заряда номера а, принадлежащего молекуле, если начало координат поместить в центр масс молекулы. Так как в дальнейшем будет производиться усреднение по объему , то в можно провести разложение по степеням В таком случае, обозначая вклад молекулы номера к в имеем

что соответствует обычному разложению по мультиполям. Если же учесть условие нейтральности молекулы, согласно которому

то

где

(см. скан)

Теперь уже нетрудно получить явное выражение для поляризованности Р и намагниченности Для этого достаточно просуммировать (57.10) и (57.11) по всем молекулам и учесть в соответствии с (57.2) собственные магнитные и дипольные моменты заряженных частиц. В результате после усреднения получаем

где волнистой чертой обозначено усреднение по интервалу времени При выводе этих формул мы, используя неравенство пренебрегли высшими членами разложения в (57.10) и (57.11), относящимися к высшим мультипольным моментам.

Из вида формул (57.12) следует, что векторы возникающие в электронной теории, отличаются от векторов (7.5) и (8.2) практически лишь дополнительным усреднением по времени. Это обстоятельство позволяет интерпретировать их как средние плотности дипольного и магнитного моментов среды.

Наконец, очевидно, что получаются при усреднении точечных частей микроскопических плотностей свободных зарядов и токов. Обозначая свободные заряды индексом имеем

что после усреднения приводится к виду (57.8).

Таким образом, установлено, что макроскопические уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде получаются в электронной теории при пространственно-временном усреднении соответствующих микроскопических уравнений Максвелла — Лоренца. Теперь остается выяснить, как в электронной теории могут быть получены конкретные уравнения состояния вещества типа

(см. скан)